Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del Flujo de Couette. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas.

El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante [math]v\vec{j}[/math], y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

2 SUPERFICIE DE ESTUDIO

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente superficie de estudio:

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [math][\mathbf{0, 8} \times \mathbf{0, 1}][/math] , al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [math][\mathbf{0, 8} \times \mathbf{-1, 2}][/math] .

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)

Mallado

3 ECUACION DE NAVIER-STOKES.

La ecuación de Navier-Stokess es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos. A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

[math]\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}[/math]

Siendo:

• u=campo de velocidad del fluido.
• p=presión en el fluido.
• μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: [math]p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)[/math]

Donde:

• p1=presion en los puntos y=1
• p2=presion en los puntos y=2

[math](u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i[/math]

[math]\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i[/math]

[math]\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i[/math]

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) [math]\displaystyle \begin{align*} (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &= \begin{pmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\ \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \end{align*}[/math]

Para nuestro campo será:

[math] \begin{bmatrix} \frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\ \frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f(z) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f(z) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} [/math]

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) [math] \nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z} [/math]

\begin{aligned} \text{siendo } p(x, y, z) &= p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 2p_1 - p_2 + p_2y - p_1y \end{aligned}

[math] \nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z} = p_2 - p_1 [/math]

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) [math] \Delta u = \nabla(\nabla u) [/math]

Por lo tanto,

[math] \Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j} [/math]

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

[math] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix} [/math] [math] f''(z) = \frac{(p_2 - p_1)}{\mu} \mathbf{j} [/math]

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido. Integramos para hallar f (z):

[math] f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} [/math] [math] f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} [/math] [math] f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}} [/math]

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para \( z = 0 \longrightarrow f(z) = v\bar{\mathbf{j}} \)

Por lo que \( f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}} \)

\( \text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}} \)

Para \( z = 1 \longrightarrow f(z) = 0 \)

Por lo que \( f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0 \)

\( \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} \)

El campo de velocidades queda:

[math] \boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}} [/math]

4 REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES

Para calcular el campo de velocidades y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

[math]\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}[/math]

[math]\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}[/math]

[math]\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}[/math]

Acudimos a MATLAB para su representación:

%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]); 
%Definimos uy y uz 
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z'); 
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas 
quiver(Y,Z,U,V);

Campo de velocidades

Por otra parte, para el campo de presiones, Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

[math]\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y[/math]

[math]\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}[/math]

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en MATLAB con el siguiente código:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);

Campo de presiones

5 LINEAS DE CORRIENTE

Buscamos las [math]\underline{\textbf{líneas de corriente}}[/math] en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto. Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

[math] \begin{array}{@{}l@{}} \nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix} \end{array} [/math]

Donde la derivada parcial respecto a \(y\) de \(f(z)\), al depender solo de \(z\), es \(0\). Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

[math] \vec{v}=\nabla \psi (y,z) \ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} [/math]

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

[math]\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}[/math]

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

[math]\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}[/math]

[math]\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}[/math]

Por lo que ψ queda como:

[math]\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}[/math]

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

[math]\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}[/math]

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en MATLAB:

y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;

Lineas de Corriente

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son tangentes al campo de velocidades en cada punto. El campo de velocidades se compone de líneas horizontales cuyas tangentes son líneas horizontales paralelas a estas, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

6 VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es [math]\underline{\textbf{máximo}}[/math] hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

[math]f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}[/math]

[math]f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}[/math]

[math]f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}[/math]

[math]f'(z) = 0[/math]

[math]f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0[/math]

[math]\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}[/math]

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una parábola con concavidad positiva.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

direccion

Los planos z=0 y z=1 crean el espacio en el que se encuentra nuestro fluido. El mínimo local de la función es el z=3/2 que en la gráfica es el punto más bajo de la parábola.

7 ROTACIONAL DEL CAMPO U

El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

[math]\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix}[/math]

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

[math]f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}[/math]

Primero hemos de calcular el determinante:

[math]\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo en la fórmula:

[math]\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0 \end{vmatrix}[/math]

Calculamos derivadas parciales:

[math]\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}[/math]

El rotacional calculado es:

[math]\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}[/math]

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en MATLAB:

%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z); 
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2); 
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes 
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)

Mallado

El rotacional que nos ha dado resultado es

[math]\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}[/math]

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima. Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vértice que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

[math]z^2 - 3z + 2 = 0[/math] [math]\boxed{z = \frac{3}{2}}[/math]

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

8 CAMPO DE TEMPERATURAS

Para poder estudiar el campo de temperaturas con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

[math]T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)[/math]

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

[math] \begin{align*} x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\ y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \end{align*} [/math] [math] \begin{align*} \rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{align*} [/math]

Como nuestros ejes son {j ,k }

[math] \begin{align*} y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\ z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\ \rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\ \theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right) \end{align*} [/math]

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

[math]T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)[/math]

[math]T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}[/math]

[math]\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}[/math]

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con MATLAB:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1) 
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k'); 
grid on
axis([0,8,-1,2]);

Campo de Temperaturas

9 GRADIENTE DE LA TEMPERATURA

El gradiente de la temperatura describe como cambia la temperatura en un punto dado en relación con las direcciones espaciales.

Para que la representación gráfica del gradiente sea mas fácil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilíndricas:

[math] \mathbf{T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)} [/math]

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

[math] \nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z [/math]

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

[math] \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho} [/math]

[math] \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho} [/math]

Representamos el gradiente en MATLAB con el siguiente código:

y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off

Gradiente de Temperatura

10 CAUDAL

El caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie [math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}[/math]

-Campo de velocidades calculado en el apartado 3: [math]\boxed{(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})}[/math]

Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

[math]\int_{S} \overline{v} \, \mathrm{d}\overline{S} = \int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2 - 3z + 2}{2} \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^{0} \frac{1}{2} \left(\frac{z^3}{3} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right)\Big|_{0}^{1} \, \mathrm{d}x[/math]

[math]= \overline{\int_{-1}^{0} \left[\frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z\right]_{0}^{1} \, \mathrm{d}x} = \int_{-1}^{0} \frac{1}{6} - \frac{3}{4} + 1 \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^{0} \frac{2}{12} - \frac{9}{12} + \frac{12}{12} \, \mathrm{d}x[/math]

[math]= \int_{-1}^{0} \frac{5}{12} \, \mathrm{d}x = \left[\frac{5}{12}x\right]_{-1}^{0} = -\left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{5}{12} = 0.4166[/math]