Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 33)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Fluido alrededor de un Obstáculo Circular. Grupo 33-A
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Beatrice Laval González Mario Quero González Maximiliano Rodríguez Ruiz Gerardo Rodríguez Socas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este artículo se va a estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. Se define un fluido como aquel medio continuo, cuya propiedad definitoria es la posibilidad de cambiar de forma sin que existan fuerzas restitutivas que tiendan a recuperar la forma original. De este modo, el término fluido hace referencia a aquellos gases y líquidos que carecen de rigidez y elasticidad, siendo además idealmente incompresibles estos últimos, puesto que su volumen no disminuye al aplicarle fuerzas y serán en este caso el objeto de estudio.

1 .-Superficie Mallada

Se comenzará por realizar un mallado que sea representativo de los puntos interiores de la región ocupada por el fluido, siendo este exterior al obstáculo interior de radio unitario. Para la representación del mismo, se emplearán coordenadas cilíndricas definidas en el intervalo, estando a su vez definidas en cartesianas intervalo ( x,y ) [5,5]x[-5,5].

Se utiliza el siguiente código en Matlab/Octave para su representación:

Representación del Mallado

clear;clc;
%Se parametrizan los valores de las circunferencias
I=linspace(1,5,50);   
J=linspace(0,2*pi,50);
%Se define el mallado del fluido
[rho,theta]=meshgrid(I,J);  
hold on
%Se definen X, Y y Z en coordenadas cilíndricas y se genera el mallado
X=rho.*cos(theta);      
Y=rho.*sin(theta);
Z=0.*rho;
mesh(X,Y,Z);
%Se crea el obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);  
axis([-5,5,-5,5]);  
view(2); 
title('Mallado del Fluido');
xlabel 'X'
ylabel 'Y'
axis equal
hold off

2 .-Función Potencial

Será estudiada la siguiente función potencial: [math] \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\theta [/math]

2.1 .-Representación

Con la región de estudio previamente definida, vamos a analizar el comportamiento del fluido. En primer lugar, se obtendrá la representación del campo escalar definido por la función potencial en un dominio, [math] D\subset \mathbb{R}^{3} [/math].Para representar la función potencial, nos ayudaremos de Matlab/Octave como en el apartado anterior quedándonos el siguiente código:

Lineas de Nivel de la Función Potencial

clear;clc; 
I=linspace(1,5,30);   
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);  
hold on
X=rho.*cos(theta);      
Y=rho.*sin(theta);
%Se introduce la función potencial
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
%Se generan las líneas de nivel de la función
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off

2.2 .-Gradiente [math]\vec{u}[/math] ortogonal

A partir de la función potencial se obtendrá el campo de velocidades de las partículas del fluido. Es decir, el gradiente de la función potencial, [math] \nabla \varphi=\vec u= \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z = \left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - [\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)-\frac{1}{\rho}]\vec e_\theta [/math]

Usando el siguiente código:

Velocidad de las Partículas

clear;clc;
I=linspace(1,5,30);   
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);  
X=rho.*cos(theta);      
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
%Gradiente de la función potencial
DX=((1-(1./(rho.^2))).*((cos(theta)).^2)-(1-(1./(rho.^2))).*(sin(theta).*2)+(sin(theta)./rho));
DY=((1-(1./(rho.^2))).*(cos(theta)).*(sin(theta))-(1-(1./(rho.^2))).*(cos(theta)).*(sin(theta))+(cos(theta)./rho));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off

5 .- Comprobación de Rotacional y Divergencia Nula

5.1 .-Rotacional

[math]\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \vec e_\rho &\rho\vec e_\theta &\vec e_z \\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}=[/math]