Modelos de mezclas(Grupo 15)

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia. Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante. Suponemos las siguientes hipotesis:

• El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
• Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
• La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

1 PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES

Llamamos [math]X_A(t)[/math] a la cantidad de contaminante del lago A y [math]X_B(t)[/math] a la cantidad de contaminante del lago B. Definimos la variación de contaminante en un lago como:

[math]X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)[/math]

Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:

[math]C(t)={X(t)\over vol(t)}[/math]

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones: \begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que [math]X_A(0)=20[/math] nos queda el siguiente problema de Cauchy:

[math]\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}[/math]

[math]\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}[/math]

La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene [math]X_A[/math] y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene [math]X_B[/math] :

[math] X_A(t)=20e^{-3t/100}[/math]

[math] X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})[/math]

• Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

2 SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos. El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada. Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

[math] X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B [/math]