La Clotoide. GRUPO 26

1 Introducción.

Expresado de un modo matemático, las clotoides son curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.

2 Dibujo de la curva.

Dada una función

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4) [/math]

La representación gráfica de la curva se obtiene mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide

% Definición parámetros
N=200;
h=(4-0)/N;
t=linspace(0,4,N);
% Almacenamiento resultados
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
% Funciones
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
% Integración método trapecio
for N=1:length(x)
  s=t(1:N);
  x(N)=trapz(s,fx(s));
  y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Gráfica
figure;
plot(x,y);
axis equal
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Dibujo clotoide');
shg

3 Velocidad y aceleración.

Para los cálculos, hacemos uso de las definiciones de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide

% Vectores velocidad y aceleración
Vx = cos(t.^2/2);
Vy = sin(t.^2/2);
Ax = -t.*sin(t.^2/2);
Ay = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot(x,y)
quiver(x,y,Vx,Vy);
quiver(x,y,Ax,Ay);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('VELOCIDAD Y ACELERACIÓN');
axis equal;
hold off
shg

8 Propiedades para la ingeniería.

La clotoide al ser una curva matemática en la que la curvatura aumenta o disminuye de manera lineal con la distancia recorrida a lo largo de la curva, la hace útil en ingeniería civil. Esta es el cambio más suave y continuo en la curvatura de una trayectoria, permitiendo una transición gradual entre una recta y una curva. Esto significa que la aceleración angular del vehículo o tren que se desplaza sobre esta curva se mantiene constante.

En cuanto a la ingeniería civil en particular en el diseño de carreteras y ferrocarriles, las curvas de transición se usan para proporcionar giros suaves entre las secciones rectas y curvas, mejorando la seguridad y comodidad para los conductores y pasajeros, así como minimizar el estrés en la infraestructura como los rieles o pavimento y por supuesto en los propios vehículos.

Estas curvas ayudan a reducir las fuerzas laterales que experimentan los vehículos y trenes cuando cambian de dirección, lo que facilita su implementación, cálculo, y optimiza los costos de construcción y mantenimiento, al reducir la necesidad de realizar cambios bruscos en la dirección de una vía. Esto combinado con el peralte propicia un escenario muy favorable para evitar accidentes de descarrilamiento.

9 Ejemplos en la ingeniería civil.

10 Superficie reglada

Consideramos la hélice en [math]R^3[/math], que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
[math] γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cost,sint,t),t∈(0,4π) [/math]
Definimos la superficie reglada asociada a [math]\gamma[/math] mediante segmentos de longitud [math]d[/math] con vector director [math]\overline{w}(t)[/math] como aquella parametrizada por

[math]\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v) [/math]
[math]v\in (a,b)[/math]
[math]u\in (c,d)[/math]

10.1 Representación.

Se pide dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud [math] 1[/math] y vector director [math]\vec{e_{\rho}} [/math].
Parametrizando la curva según [math]v[/math], queda la siguiente función

[math] γ(v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(cosv,senv,v),v∈(0,4π) [/math]

A partir de la cual se conoce el vector posición [math]\vec{r}(v)=cosv\vec{i}+ senv\vec{j}+v\vec{k},v∈(0,4π)[/math].
Se utiliza la siguiente Matriz de Cambio de Base para pasar el vector director [math]\vec{e_{\rho}} [/math] de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}

El vector [math]\vec{e_{\rho}} [/math] en coordenadas cartesianas es igual a

[math]\overline{w}(v)=cosv\overline{i}+senv\overline{j}[/math]

Si aplicamos la definicón (numero) la parametrización de la hélice queda

[math]\phi (u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\overline{i}+(senv+u\cdot senv)\overline{j}+v\overline{k},[/math] [math] v∈(0,4π), u∈(0,1)[/math]

Para representarla hemos utilizado el siguiente programa en Matlab

Figura 9: Superficie Reglada

%Definición de parámetros
v=(0:0.01:4.*pi);
u=(0:0.01:1);
%Matrices de superficie
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
%Función de la superficie reglada
x=cos(MV)+MU.*cos(MV);
y=sin(MV)+MU.*sin(MV);
z=MV;
%Dibujo superficie
surf(x,y,z);
title('Superficie reglada');
shading flat;
shg

11 Masa de la superficie reglada.

Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función

[math]f(x_1,x_2,x_3)=10-x_1^2-x_2^2[/math]

Para calcular la masa utilizamos la expresión

[math]Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv[/math]

Como hemos hallado en el apartado anterior

[math] \phi (u,v)\begin{cases} x=cosv+u\cdot cosv \\ y=senv+u\cdot senv\\ z=v \end{cases}[/math]

[math] \vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}[/math]

[math] \vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j} [/math]

[math]\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}[/math]

[math] \bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix} i & j & k\\ cosv &senv &0 \\ -(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1 \end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}[/math]

El módulo del producto vectorial es igual a [math]\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}[/math]

La función evaluada según el vector [math]\vec{{r}}(u,v)[/math] nos da

[math]f(\vec{r}(u,v))=10-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9[/math]