Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. G19

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Deformaciones de una placa plana. Grupo 6-A
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Mario Del Amo, Lucía Lázaro, Juan Carlos Martin, Claudia Xiang Martín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Un placa plana está definida por dos sectores de circunferencias concéntricas de radios 1 y 2 centradas en el origen. Dichos sectores están limitados por el plano \(y≥|x|\).

Esta placa es objeto de estudio para su comportamiento frente a una función de temperatura:

[math]T(x,y)=cos(x^2)+sen((y-1)^2)[/math]

Como se puede apreciar, la función viene dada en coordenadas cartesianas.

Se dispone también de un campo [math]\vec u [/math] que, a diferencia de la función de temperatura, viene dado en coordenadas cilíndricas:

[math]\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}senθ \vec e_ρ [/math]

Este campo se empleará para obtener información acerca de la placa.

1 . Mallado de la placa plana

Mallado de la placa plana

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2)

2 . Curvas de nivel y gradiente de la temperatura

2.1 Curvas de nivel

Curvas de nivel de la placa

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
mesh(X,Y,0*X);
Temp=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
hold on
subplot(1,2,1);
axis([-3,3,-1,3]);
surf(X,Y,Temp);
view(2)
title('Grafica 1');
axis equal
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,Temp,50);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Placa 2D');
axis equal
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
contour(X,Y,Temp,50);
colorbar
hold off

2.1.1 Temperatura máxima

Empleando el código mostrado abajo se ha obtenido la temperatura máxima que alcanza la placa. Esta temperatura es de 1.8315ºC en el punto (0,2) de la gráfica, como se puede apreciar en la figura superior derecha.

tempmax=max(max(Temp))

2.2 Gradiente

Gradiente del campo atravesado por la placa

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
%Pasamos de coordenadas cilíndricas a cartesianas
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
mesh(X,Y,0*X);
%Gradiente
dX=2.*X.*sin(X.^2);
dY=-2.*(Y-1).*cos((Y-1).^2);
hold on
quiver(X,Y,dX,dY);
hold off
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Gradiente');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

3 . Ley de Fourier

En la Ley de Fourier, la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula Q = −κ∇T, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

Campo vectorial

h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
Temp=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
Qx=-sin(X.^2).*2.*X;
Qy=-cos((Y-1).^2).*2.*(Y-1);
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Qx,Qy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica. Ley de Fourier');
hold off

4 . Campo de vectores en mallado sólido

Campo de vectores en la malla

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
mesh(X,Y,0.*X);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
i=0.5.*sin(T).*cos(T);
j=0.5.*sin(T).*sin(T);
quiver(X,Y,i,j);
title('Campo de vectores');
hold off

5 . Sólido antes y después del desplazamiento

Campo de vectores en la malla

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
subplot(1,2,1)
M=mesh(X,Y,0.*X);
view(2)
set(M,'EdgeColor','g');
axis([-3,3,-1,3]);
title('Grafica 1');
subplot(1,2,2)
u=0.5.*sin(T).*cos(T);
v=0.5.*sin(T).^2;
U=X+u;
V=Y+v;
N= mesh(U,V,0.*U);
view(2)
set(N,'EdgeColor','b');
axis([-3,3,-1,3]);
title('Grafica 2');

Gráfica conjunta de la malla antes y después del desplazamiento

%Comparación entre sólidos
clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
u=0.5.*sin(T).*cos(T);
v=0.5.*sin(T).^2;
U=X+u;
V=Y+v;
figure
axis([-3,3,-1,3]);
N= mesh(U,V,0.*U);
set(N,'EdgeColor','b');
view(2)
title('Comparación entre sólido final e inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
hold on
M= mesh(X,Y,0.*X);
set(M,'EdgeColor','g');
hold off

6 . Divergencia del campo

La divergencia mide la diferencia de flujo entrante y saliente de un campo vectorial sobre una superficie.

Por tanto, cuanto mayor sea la divergencia, mayor es la rapidez con la que se conduce el flujo a través de la superficie. Si la divergencia tiende a 0, su incompresibilidad es mayor.

La divergencia a partir de coordenadas cilíndricas, como ocurre con el campo dado, se calcula empleando:

[math] \nabla\cdot\vec u = \frac{1}{\rho}(\frac{\partial(ρu_\rho)}{\partial \rho} + \frac{\partial (u_\varphi)}{\partial \varphi} + \frac{\partial (ρu_z)}{\partial z}) [/math]

Concretamente con el campo [math]\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}senθ\vec e_ρ [/math] dado el cálculo da lugar a que la divergencia sea:

[math] \nabla\cdot\vec u = \frac{1}{ρ}\frac{\partial(ρ\frac{1}{2}senθ)}{\partial \rho} =\frac{1}{2ρ}senθ\ [/math]

En la siguiente figura se observa el programa Matlab/Octave utilizado para obtener el gráfico de los valores de la divergencia en el cuarto de anillo en función del campo [math]\vec u [/math].

Divergencia del campo

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
div=(1./2.*R).*sin(T);
surf(X,Y,div);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Divergencia del campo');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar

6.1 Divergencias máxima y mínima

Empleando los códigos escritos en la parte inferior del apartado, se obtiene la máxima y mínima divergencia, las cuales son 0.9957 y 0.2236, respectivamente. La divergencia máxima se alcanza en el punto (0,2) de la gráfica superior y el mínimo en el extremo inferior derecho de la placa.

divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))

7 . Rotacional del campo

El rotacional consiste en obtener la tendencia de un campo a producir una rotación alrededor de un punto de la superficie. El resultado obtenido es un vector que indica la dirección de rotación de la superficie en dicho punto. Los cálculos a realizar, en este caso, en coordenadas cilíndricas son:

La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes:

donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x, desde x=0 a x=L. La varilla es conductora de calor,por lo que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio de energía térmica en forma de calor. En nuestro caso, consideramos una varilla delgada de longitud L=3, y cuyos extremos est�an colocados sobre objetos que mantienen una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente. Inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por u 0 ( x ) = 10 x= 3 salvo en su tercio central donde la temperatura ha subido hasta los 100 grados. Se Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender entonces de x ∈ [0 , L ] y t . Designamos por u ( x, t ) la temperatura de la secci ́on de la varilla que dista x ≥ 0 del extremos x = 0 cuando ha pasado un tiempo t ≥ 0. Tomemos un trozo de varilla entre las secciones x y x + ∆ x , que des- ignaremos por [ x, x + ∆ x ]. Pensamos en ∆ x , que mide la anchura del trozo de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ x, x + ∆ x ]

Rotacional del campo

clc,clear
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
mesh(X,Y,0.*X);
rot=cos(T)./(2.*R);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,rot);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
subplot(1,2,2);
surf(X,Y,rot);
axis equal;
title('Rotacional 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');

7.1 Rotacional máximo

El rotacional máximo, obtenido mediante el código inferior, es 0.4472 que se alcanza en la zona en la que la divergencia alcanza el mínimo.

rotmax=max(max(rot))

8 . Tensor de tensiones

Tensiones normales en ρ, θ y z

clc, clear;
h=2/10;
r=1:h:2;
t=atan(1/2):h:pi-atan(1/2);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);

trho=(1./(2.*R)).*(sin(T));
subplot(3,1,1);
surf(X,Y,trho);
axis equal
title('Tensión normal en ρ');

ttheta=((1/2).*sin(T))+sin(T);
subplot(3,1,2);
surf(X,Y,ttheta);
axis equal;
title('Tensión normal en θ');

tz=(1./(2.*R)).*(sin(T));
subplot(3,1,3);
surf(X,Y,tz);
axis equal
title('Tensión normal en z');