Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte
Contenido
1 Flujo de Couette.
En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del Flujo de Couette. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante [math]v\vec{j}[/math], y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.
Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.
2 Superficie de Estudio
En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente superficie de estudio:
Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].
Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].
Empleamos el uso de Matlab,en el programa se ha utilizado el paso de 0.5,dado que se ha considerado el más adecuado en esta escala. A continuación podemos ver el código usado:
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)
La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos. A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.
La ecuación Navier-Stokes es: (u⋅∇)u+∇p=μ∇^2u (u · ∇)u + ∇p = μ∆u
Siendo: u=campo de velocidad del fluido. p=presión en el fluido. μ=coeficiente de viscosidad del fluido.
La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y
Presión dada: p(x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1),
Donde:
p1=presion en los puntos y=1 p2=presion en los puntos y=2
4 REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES
Para calcular el campo de velocidades y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p_1=1,p_2=2,v=1,μ= 1
[PONER ECUACIONES]
Acudimos a Matlab para su representación:
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);
[PONER GRAFICO]
Por otra parte, para el campo de presiones, Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2
p(x,y,z) = p1+(p2-p1)(y-1) = 1+(2-1)(y-1) = 1+y-1=y
Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
[PONER GRAFICO]
5 LINEAS DE CORRIENTE
Buscamos las líneas de corriente en el campo de velocidades u(y,z)=f(z)j, es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto. Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v=i×u. (i es vector unitario). v= i×u = f(z)k Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:
[Insertar rotacional] Donde sale la derivada parcial respecto de y de f(z), que al depender sólo de z será 0. Con esto se comprueba que es irrotacional.
Calculamos la función potencial ψ(y,z): Según la definición: v ⃗=∇ψ(y,z); v1=∂ψ/∂y, v2=∂ψ/∂z
