Modelos de mezclas(Grupo 15)

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia. Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante. Suponemos las siguientes hipotesis:

• El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
• Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
• La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES

Llamamos [math]X_A(t)[/math] a la cantidad de contaminante del lago A y [math]X_B(t)[/math] a la cantidad de contaminante del lago B. Definimos la variación de contaminante en un lago como:

[math]X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)[/math]

Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:

[math]C(t)={X(t)\over vol(t)}[/math]

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago, nos queda el siguiente sistema:

[math]X'_A(t)=)=-{3\over 100}X_A[/math]

[math]X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B[/math]

En forma matricial y considerando que [math]X_A(0)=20[/math]: