Grupo 37 Cicloide

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]

1 Representación gráfica de la curva

Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab.

% Definición de parámetros de la curva
   n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
   % Definición de la curva
   x=(t-sin(t));
   y=(1-cos(t));
   plot(x,y,"Color","r");
   % Leyenda de la gráfica
   legend("Curva Cicloide");
   % Etiquetas
   title('Representación Gráfica Curva.')
   grid on 
   xlabel("Eje X","FontSize",15);
   ylabel("Eje Y","FontSize",15);
   axis("equal")

Figura 1. Representación del cicloide

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el vector wue describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
El vcector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)[/math]

[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j [/math]

[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j[/math]

2.2 Representación gráfica de los vectores

n =30;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 = sin(t);
 A2 =cos(t);
 figure
 hold on
 % Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
 plot (x ,y ,'r');
 % Campo Velocidad
 quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
 % Campo Aceleración
 quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
 axis equal
 legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
 hold off ;
 title ('Curva , velocidad y aceleración.');

Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración

3 Longitud de la curva

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8[/math]

n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
   i=0;
   area=0;
   x=(t-sin(t));
   y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end

4 Vectores tangente y normal

4.1 Definición de los vectores tangente y normal

El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese puto.
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el ladocóncavo de la curva.

4.2 Representación de los vectores tangente y normal

Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.

n =30;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);
 % Vector normal
 norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
 T1 =V1./norma ;
 T2 =V2./norma ;
 figure
 hold on ;
 % Curva
 plot (x ,y ,'r') ; 
 % Campo Normal
 quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ; 
 %Campo Tangente
 quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
 legend("Curva","Normal","Tangente");
 axis equal
 grid on
 hold off ;
 title ('Curva , tangente y normal.') ;

Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal

5 Curvatura

n =100;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);
 k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2))  ;
 figure
 plot (t ,k ,'b') ;
 axis equal
 title ('Curvatura kappa (t). ') ;

Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide

7 Información acerca del cicloide

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta. Su aplicación en ingeniería civil se aplica en la resolución de problemas físicos y matemáticos y está relacionada con el diseño de curvas para ciertos elementos arquitectónicos o estructurales.

Imagen. Representación gráfica del fenómeno descrito por una cicloide

Por ejemplo, se emplea para resolver el problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Imagen. Propiedad tautócrona de la cicloide

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural. En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la de el círculo que la genera. Además, mencionó que el arco de una curva plana descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una línea recta, debería ser apropiada para la construcción de puentes.

9 La cicloide en [math]\mathbb{R}^3[/math]

La Cicloide en un espacio [math]\mathbb{R}^3[/math] se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:

[math]γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)[/math]

n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;

Figura . Representación de la superficie reglada