Grupo 37 Cicloide

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]

1 Representación gráfica de la curva

Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab.

% Definición de parámetros de la curva
   n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
   % Definición de la curva
   x=(t-sin(t));
   y=(1-cos(t));
   plot(x,y,"Color","r");
   % Leyenda de la gráfica
   legend("Curva Cicloide");
   % Etiquetas
   title('Representación Gráfica Curva.')
   grid on 
   xlabel("Eje X","FontSize",15);
   ylabel("Eje Y","FontSize",15);
   axis("equal")

Figura 1. Representación del cicloide

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el vector wue describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
El vcector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)[/math]

[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j [/math]

[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j[/math]

2.2 Representación gráfica de los vectores

n =30;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 = sin(t);
 A2 =cos(t);
 figure
 hold on
 % Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
 plot (x ,y ,'r');
 % Campo Velocidad
 quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
 % Campo Aceleración
 quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
 axis equal
 legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
 hold off ;
 title ('Curva , velocidad y aceleración.');

Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración

3 Longitud de la curva

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8[/math]

n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
   i=0;
   area=0;
   x=(t-sin(t));
   y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end

4 Vectores tangente y normal

n =30;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);
 % Vector normal
 norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
 T1 =V1./norma ;
 T2 =V2./norma ;
 figure
 hold on ;
 % Curva
 plot (x ,y ,'r') ; 
 % Campo Normal
 quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ; 
 %Campo Tangente
 quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
 legend("Curva","Normal","Tangente");
 axis equal
 grid on
 hold off ;
 title ('Curva , tangente y normal.') ;

Figura 1. Representación de los vectores tangente y normal

5 Curvatura

n =100;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);
 k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2))  ;
 figure
 plot (t ,k ,'b') ;
 axis equal
 title ('Curvatura kappa (t). ') ;

9 La cicloide en R^3

n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;