Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Fluidos

Trabajo realizado por estudiantes Título Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 11-A Asignatura Teoría de Campos. Curso 2013-2014 Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura 1.- INTRODUCCIÓN. Consideramos el flujo de un fluido incompresible a través de una canal con paredes rectas. Para representarlo, usaremos las coordenadas cartesianas.

Dibujamos  el mallado que representa los puntos  interiores  del rect´angulo [0, 4] × [0, 1] ocupado por un fluido. Fijamos  los ejes en la región [0, 4] × [−1, 2].

Para realizar el mallado hemos introducido los siguientes comandos en Octave:

x=0:0.5:4; y=0:0.5:1; [xx,yy]=meshgrid(x,y); figure(1) mesh(xx,yy,0*xx) axis([0,4,-1,2]) view(2) 2.- VISUALIZACIÓN DE CAMPOS DE PRESIONES Y DE VELOCIDADES.

2.1 Ecuación de Navier-Stokes y condición de incompresibilidad.

Tenemos el campo escalar de presiones p(x,y)=p1+(p2−p1)(x−1) y el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido u ⃗ (x,y)=y(1−y)(p1−p2)/(2μ)i

Para comprobar que es un fluido incompresible, la divergencia debe ser 0.

(∇•) ⃗u ⃗=0 ∇ ⃗•u ⃗=∂/∂_X u_X+∂/∂_y u_y+∂/∂_z u_z=∂/∂_x ((p_1- p_2)/(2µ) (y-y^2 ))=0

Como no hay variable “x” la derivada es trivial.

Como cualquier fluido debe satisfacer la ecuación estacionaria de Navier-Stokes.

□(u ⃗ )(x,y) =(p_1- p_2)/(2µ)(y-y^2) □(i ⃗ )

Por lo tanto, □(u ⃗ ) queda: □(u ⃗ )=((p_1-p_2 )(y-y^2 )/(2µ),0,0) ∇ ⃗u ⃗=(∂u_i)/(∂x_j ) e_j⊗e_i (∂u_i)/(∂x_j )=(■((∂u_1)/∂x&(∂u_1)/∂y&(∂u_1)/∂z@(∂u_2)/∂x&(∂u_2)/∂y&(∂u_2)/∂z@(∂u_3)/∂x&(∂u_3)/∂y&(∂u_3)/∂z))

Con lo que nos queda ∇ ⃗u ⃗=(■((∂u_1)/∂x&(∂u_2)/∂x&(∂u_3)/∂x@(∂u_1)/∂y&(∂u_2)/∂y&(∂u_3)/∂y@(∂u_1)/∂z&(∂u_2)/∂z&(∂u_3)/∂z))=(■(0&0&0@(p_1-p_2)/(2µ)(1-2y)&0&0@0&0&0))

p(x,y)= p_1+ (p_2–p_1)(x-1) ; ∇ ⃗p=∂p/∂x i ⃗+∂p/∂y j ⃗+∂p/∂z k ⃗=(p_2-p_1)i ⃗

u ⃗∙∇ ⃗u ⃗=((p_1-p_2 )(y-y^2 )/(2µ),0,0)(■(0&0&0@(p_1-p_2)/(2µ) (1-2y)&0&0@0&0&0))=(0,0,0)

u ⃗∙∇ ⃗u ⃗+∇ ⃗p= (p_2-p_1)i ⃗

∆u ⃗=(∂^2 u ⃗)/(∂x^2 )+(∂^2 u ⃗)/(∂y^2 )+(∂^2 u ⃗)/(∂z^2 )=0+(p_1-p_2)/(2µ) i ⃗ ∂^2/(∂y^2 )(y-y^2)+0=(p_2-p_1)/µ i ⃗

µ∆u ⃗=(p_2-p_1)i ⃗

2.2 Velocidad nula en las paredes.

Por último comprobamos que la velocidad del fluido es nula en las paredes. La velocidad viene dada por:

□(u ⃗ )(x,y) =(p_1- p_2)/(2µ)(y-y^2) □(i ⃗ ) En las paredes y= 0, y=1 se puede comprobar que la ecuación se anula. □(u ⃗ )(x,0) =(p_1- p_2)/(2µ)(0-0^2) □(i ⃗=0) □(u ⃗ )(x,1) =(p_1- p_2)/(2µ)(1-1^2) □(i ⃗ )=0

2.3 Representación de los campos de velocidades y presiones.

Una vez que hemos confirmado que es un fluido incompresible, que verifica la ecuación de Navier y que la velocidad de fluido en las paredes es nula, nos disponemos a representar gráficamente los campos de velocidades y de presiones para p1=2, p2=1 y μ=1. P(x,y)=3-x ; □(u ⃗ ) (x,y)=(y-y^2)/2 Campo de presiones

x=0:0.1:4; y=0:0.1:1 [xx,yy]=meshgrid(x,y); figure (1) f=3-xx surf(xx,yy,f) view(2)

Campo de velocidades

x=0:0.1:4; y=0:0.1:1; [xx,yy]=meshgrid(x,y); figure (2) fx=(1/2).*(yy-(yy.^2)); fy=0.*xx; quiver(xx,yy,fx,fy) axis([0,4,-1,2]) view(2)

3. - LÍNEAS DE CORRIENTE.

Llegados a este punto, dibujaremos las líneas de corriente del campo u ⃗, para ello calculamos el campo v ⃗ que es ortogonal a u ⃗ ayudándonos del vector k ⃗ y utilizando el producto vectorial hallamos el susodicho campo.

v ⃗=(k ⃗×u ⃗ )=(p_1- p_2)/(2µ)(y-y^2) j ⃗ Por ser (u ) ⃗ de divergencia nula el campo v ⃗ debería ser irrotacional:

1/1 [■(i ⃗&j ⃗&k ⃗@∂/∂_X &∂/∂_y &∂/∂_z @0&-(p_1- p_2)/(2µ)(y-y^2)&0)]=∂/∂_z (-(p_1- p_2)/(2µ) (y-y^2 ) ) i ⃗+∂/∂_x (-(p_1- p_2)/(2µ) (y-y^2 ) ) k ⃗=0 ⃗

Al ser irrotacional cuenta con un potencial escalar (ψ), conocido como función de corriente de u ⃗. ∇ψ= v ⃗ ∂ψ/∂x,∂ψ/∂y,∂ψ/∂z=(p_1- p_2)/(2µ)(y-y^2) j ⃗

ψ(x,y)=1/12(3y^2-2y^3)

Dibujamos las líneas de nivel de la función potencial, que representan las líneas de corriente.

x=0:0.1:4 y=0:0.1:1; [xx,yy]=meshgrid(x,y); potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); contour(xx,yy,potencial) view(2)

Superponiendo las líneas de corriente con el campo vectorial de la velocidad observamos que se corresponden

x=0:0.1:4 y=0:0.1:1; [xx,yy]=meshgrid(x,y); potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); contour(xx,yy,potencial) view(2)

hold on

fx=(1/2).*(yy-(yy.^2)); fy=0.*xx; quiver(xx,yy,fx,fy)

4.- VELOCIDAD DEL FLUIDO.

Para hallar en qué puntos la velocidad del fluido es máxima derivamos u ⃗ e igualamos a 0.

□((∂u ⃗)/∂_y ) (x,y)=(p_1- p_2)/(2µ) (1-2y)=0

□((∂u ⃗)/∂_x ) (x,y)=0

Observamos que esto se anula en y=0,5, por lo que en ese punto la velocidad será máxima.

x=0:0.5:4;

    y=0:0.5:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

figure(1)

    fx=0.5.*(yy.*(1-yy));

fy=0*xx;

quiver(xx,yy,fx,fy);
axis([0,4,-1,2])
view(2)

5. - ROTACIONAL.

Luego procedemos a calcular el rotacional de u ⃗.

∇×u ⃗=[■(i ⃗&j ⃗&k ⃗@∂/∂x&∂/∂y&∂/∂z@(y-y^2)/2&0&0)]=(-1+2y)/2 k ⃗

Dibujamos |∇×u ⃗ |

   x=0:0.1:4;       
   y=0:0.1:1;            
   [xx,yy]=meshgrid(x,y); 
   s=1/2.*(1-2.*yy) ;
   h=abs(s);
   t=pcolour(xx,yy,h);
  axis([0,4,-1,2])
  view (2) 

6.- CAMPO DE TEMPERATURAS.

A continuación, realizamos el dibujo del campo de temperaturas dado:

T(x,y)=(x-1)^2-y^2

x=0:0.5:4;

    y=0:0.5:1;

[xx,yy]=meshgrid(x,y); figure(1) f=(xx-1).^2-(yy.^2); surf(xx,yy,f); axis([0,4,-1,2]) view(2)

7.- GRADIENTE DE TEMPERATURA.

Por ultimo, calculamos el gradiente del campo de temperaturas dado. ∇T=dT/dx i ⃗+∂T/∂y j ⃗=(2x-2) i ⃗-2yj ⃗

x=0:0.5:4;

    y=0:0.5:1;

[xx,yy]=meshgrid(x,y); figure(1) fx=2.*xx-2; fy=-2.*yy; quiver(xx,yy,fx,fy); axis([0,4,-1,2]) view(2)

Obteniendo las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura y superponiéndolo con su gradiente, observamos que son perpendiculares.

    x=0:0.1:4;
    y=0:0.1:1;

[xx,yy]=meshgrid(x,y) f=(xx-1).^2-(yy.^2); contour (xx,yy,f); hold on fx=2.*xx-2; fy=-2.*yy; quiver(xx,yy,fx,fy); axis([0,4,-1,2]) view(2)