Campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3B)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Eladio Rodríguez Rúa Jorge Granadino Aranda Mario Raya Sampere Alejandro Villaverde Carrascosa
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El trabajo consiste en la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello, se ha utilizado principalmente el programa informático MATLAB que permite ver los cálculos de manera más visual.

Se considera una placa rectangular (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y)∈[-1, 1] × [0, 12][/math].

En ella se supone que hay dos cantidades físicas definidas: La temperatura [math]T(x,y) [/math] que viene dada por: [math]T(x,y) = 3log(1+(x-1)^2) + log(1+(y-8)^2)[/math] y los desplazamientos [math] \vec {u}(x,y) [/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si se define [math] \vec{r_{0}}(x,y) = x\vec {i} + y\vec {j}[/math] como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: [math] \vec {r_{d}}(x,y) = \vec {r_{0}}(x,y) + \vec {u}(x,y)[/math]

La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:

[math] \vec {u}(x,y,t)= \vec {a} sin(\pi k(\vec {d}· \vec {r_{0}}(x,y)-vt))[/math]

donde [math]\vec {a}[/math] se conoce como aplitud, [math] k\gt0 [/math] es el número de onda, [math]\vec {d}[/math] es un vector unitario que marca la dirección de propagación y [math] v [/math] es la velocidad de propagación.

La variable [math] t [/math] representa el tiempo que se detiene en [math] t = 0 [/math] en los primeros 10 apartados de este trabajo. De manera que, solo para los primeros apartados:

[math] \vec {u}(x,y)= \vec {a} sin(\pi k(\vec {d}· \vec {r_{0}}(x,y)))[/math]

Se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. En particular se toma:

[math]\vec {a}(x,y)=\frac{x}{3}\vec {i}[/math]  ; [math]\vec {d}=\frac{1}{12}\vec {j}[/math]  ; [math]\vec {k}= 1 [/math]

1 Dibujo del mallado

En primer lugar dibujamos el mallado para representar los puntos interiores del sólido, tomando los ejes del rectángulo [-1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

REPRESENTACIÓN DEL MALLADO

% Mallado interior de la figura:
%definimos el paso de muestreo y las variables
h = 2/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:12;
%se realiza el mallado
[X,Y] = meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0*X);
%se define el rango de visión de la gráfica
axis([-10,10,-0.5,12.5]);
view(2)
%se pone título a la gráfica
title('Representación del mallado')
%se pone nombre a los ejes
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')

2 Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura

A continuación dibujamos mediante colores las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar [math]T(x,y) = 3log(1+(x-1)^2) + log(1+(y-8)^2)[/math]. Los colores azulados representan las zonas más frías, mientras que las zonas más cálidas tienen tonos más amarillentos y anaranjados. En la gráfica podemos ver los puntos más próximos a la temperatura máxima.

CURVAS DE NIVEL

% Curvas de nivel:
%definimos el paso de muestreo y las variables
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%se realiza el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%la temperatura viene dada por la siguiente función
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
figure
%dibujamos las curvas de nivel
contour(X,Y,T,40)
%barra de indicación de colores
colorbar
%se define el rango de visión de la gráfica
axis([-10,10,-0.5,12.5])
MaxTemp=max(max(T));
%se pone título a la gráfica
title('Curvas de nivel')

3 Ley de Fourier

De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica [math] \vec{Q} [/math] viaja de acuerdo con la formula [math]\vec Q [/math] [math] = −k \nabla T[/math]. Donde [math] k [/math] es la constante de conductividad térmica de la placa, que supondremos que es [math] k = 1 [/math].

Ley de Fourier.

h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure(1)
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%curvas de nivel
contour(X,Y,T)
axis([-5,5,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
hold on
[Px,Py]=gradient(T)
figure(1)
quiver(X,Y,Px,Py)
axis([-5,5,-0.5,12.5])
view(2)

4 Dibujo del campo de vectores

Campo de vectores.

h=2/10;
k=1;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
hold on
[Px,Py]=gradient(T);
Qx=-k.*Px;
Qy=-k.*Py;
quiver(X,Y,Qx,Qy)
axis([-5,5,-0.5,12.5])
view(2)

5 Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento

Campo de vectores.

h=2/10;
k=1;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
hold on
Ux=(X./3).*sin((pi/12).*Y);
Uy=0.*Y;
quiver(X,Y,Ux,Uy)
axis([-5,5,-0.5,12.5])
view(2)

6 Cálculo y dibujo de la divergencia

Campo de vectores.

h=2/10;
k=1;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ux=(X./3).*sin((pi/12).*Y);
Uy=0.*Y;
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,0.*X)
axis([-5,5,-0.5,12.5])
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(X+Ux,Y+Uy,0.*X)
axis([-5,5,-0.5,12.5])
view(2)

7 Cálculo y dibujo del rotacional

Campo de vectores.

h=2/10;
k=1;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ux=(X./3).*sin((pi/12).*Y);
Uy=0.*Y;
div=divergence(X,Y,Ux,Uy);
MaxD=max(max(div));
MinD=min(min(div));
surf(X,Y,div)
colorbar
axis([-2.5,2.5,-0.5,12.5,0,0.5])

8 Dibujo de las tensiones normales

Archivo:Cam8.png

Campo de vectores.

h=2/10;
k=1;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ux=(X./3).*sin((pi/12).*Y);
Uy=0.*Y;
[Rz,V]=curl(X,Y,Ux,Uy);
MaxR=max(max(Rz));