Usuario:Eduardo Casado Pérez

1 Tensiones tangenciales

Este apartado consiste en calcular las tensiones generadas respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math] y representarlas en el caso de que existiesen. Conseguimos hallarlas mediante la siguiente fórmula [math]|σ·\vec{i}-(\vec{i}·σ·\vec{i})·\vec{i}|[/math].

En nuestro caso el sustraendo va a ser igual a cero por lo cual el único término que queda es el minuendo, esto quiere decir que no hay ningún tipo de tensión en la dirección del eje [math]\vec{i}[/math], lo que implica que el único componente de tensión es tangencial al plano ortogonal al eje x.

[math]|σ·\vec{i}-(\vec{i}·σ·\vec{i})·\vec{i}|[/math]=[math]|\frac{π}{9}·cos(π·y/3)\vec{j}-0|[/math]=[math]|\frac{π}{9}·cos(π·y/3)\vec{j}|[/math].

Vamos a mostrar a continuación la representación gráfica de las tensiones respecto a los diferentes puntos de la placa:

h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

Ttg=(pi/9).*cos((pi/3).*My); %Tensióntangencial respecto al plano ortogonal a i
quiver(Mx,My,Ttg.*0,Ttg);
title('Tensión respecto al plano ortogonal a i')
xlabel
ylabel
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(2)

2 Tensión de Von Mises

Para este apartado vamos a trabajar con la fórmula de Von Mises

[math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}2}[/math]

que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico en lugar de tener las cualidades de un material élastico puro.

La fórmula de Von Mises depende [math]σ_{1}[/math],[math]σ_{2}[/math] y [math]σ_{3}[/math] que son las tensiones principales en el material que a su vez son los autovalores asociados a la matriz de σ:

[math]\mathbb σ=\; \begin{pmatrix} {0}&{\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})}&{0}\\ {\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ \end{pmatrix}[/math], siendo los autovalores [math]σ_{1}=0,σ_{2}=\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3}),σ_{3}=-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})[/math]

Si sustituimos los valores que hemos hallado en las tensiones principales en la fórmula de Von Mises nos da el siguiente resultado:

[math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(0-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3}))^2+(\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})-(-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3}))^2+(-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})-0)^2}2}=\sqrt{3}·\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})[/math]

h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
M_VonMises=0.*My;

VonMises=inline('(((T1-T2)^2+(T2-T3)^2+(T3-T1)^2)/2)^(1/2)','T1','T2','T3'); %Definimos la función de Von Mises siendo T1,T2,T3 las tensiones elementales
[a,b]=size(My);
for i=1:a
  for j=1:b
    Deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
    Lamb=eig(Deformaciones);
    T1=Lamb(1,1);
    T2=Lamb(2,1);
    T3=Lamb(3,1);
    M_VonMises(i,j)=VonMises(T1,T2,T3);
  end
end
surf(Mx,My,M_VonMises)
shading flat
title('Von Mises')
xlabel=('Eje x')
ylabel=('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
colorbar
view(2)
max(max(M_VonMises))

Vemos que son varios los puntos de la placa donde la función de Von Mises toma su valor maxímo y esto es cada vez que el [math]cos(\frac{π·y}{3})=1[/math] siendo su valor [math]σ=0.6046[/math]