La Catenaria

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Catenaria. Grupo 12
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Alejandro Jiménez García Marta García-Moris Fontcuberta Alejandro Seises López Alberto Nuñez Cobo Álvaro Matías Acedo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La catenaria se define como la curva generada por una cuerda o cable sin rigidez, suspendida por sus dos extremos y sometida al campo gravitatorio. En ingeniería de caminos, esta curva se encuentra en los cables principales de los puentes colgantes o en los cables de las líneas eléctricas ferroviarias, las cuales se denominan catenaria, por la curva que describe.

2 Representación de la curva

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)[/math]
Donde:
[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]
Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

Representación gráfica de la catenaria

% Definición de los parámetros
 a=-1; b=1;h=0.01;
 t=a:h:b;
% Definición de la curva
x=t;
y=cosh(t);
plot(x,y,"Color","b");
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
title('Curva Catenaria')
axis("equal")
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor

2.1 Vectores velocidad y aceleración

Siendo [math] γ(t) el vector posición: \lt/\gt El vector velocidad se halla mediante la derivada con respecto el tiempo del vector posición. \lt/\gt \ltmath\gt γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j [/math]
El vector aceleración es la derivada segunda de la ecuación con respecto al tiempo (derivada de la velocidad con respecto al tiempo).
[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j[/math]
Los vectores velocidad y aceleración se representan gráficamente usando el siguiente código:

Vector velocidad y vector acelración

% Definición de los parámetros
a=-1;
b=1;
h=0.1;
t=a:h:b;
% Definición de la curva
x=t;
y=cosh(t);
% Definición de la velocidad
v1=t./t;
v2=sinh(t);
% Definición de la aceleración
a1=0.*t;
a2=cosh(t);
hold on
plot(x,y,'LineWidth',2);
quiver(x,y,v1,v2);
quiver(x,y,a1,a2, "Color","g");
hold off
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation ='origin';
% Etiquetas
title('Vector velocidad y aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
axis("equal")
xlim([-1 1])
ylim([0.8 2])
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor

3 Longitud de la curva

La longitud de la curva se ha calculado a través del Método del Rectángulo usando el siguiente código:

function A = rectangulo(f, a, b, n)
f=@(t) sqrt(1+(sinh(t)).^2)
a=-1
b=1
n=200
A = 0;
h = (b-a)/n; 
for k=1:n
xk = a + h*k;     % Valor de x en el extremo del intervalo
A = A + f(xk)*h;  % Sumamos el área del rectángulo
end

end

Dando como resultado queda de la siguiente forma:

L = 2,35 m

4 Vector tangente y vector normal

4.1 Código vector tangente

x=t;
y=cosh(t);
% Vectores tangentes unitarios interiores
t1i=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
t2i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
% Vectores tangentes unitarios 
hold on
plot(x,y,'LineWidth',2);
quiver(x,y,t1i,t2i);
hold off
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
title('Vector tangente unitario')
legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
axis("equal")
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor

4.2 Código vector normal

% Definición de los parámetros
a=-1;
b=1;
h=0.09;
t=a:h:b;
% Definición de la curva
x=t;
y=cosh(t);
% Vectores normales unitarios orientación interior
n1i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
% Vectores normales unitarios orientación exterior
n1e=-sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
hold on
plot(x,y,'LineWidth',2);
quiver(x,y,n1i,n2i);
quiver(x,y,n1e,n2e);
hold off
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
title('Vectores normales')
legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior")
axis("equal")
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor

5 Curvatura y gráfica

5.1 Código

a=-1;
b=1;
h=0.09
t=a:h:b    %Valores del intervalo
Ka=(sqrt(1+(sinh(t)).^2).^3)./cosh(t);
plot(t,Ka);
grid on
xticks([-1 1])

8 Empleo de la curva en Ingeniería Civil

La catenaria en ingenería civil es muy común, al tratarse de una curva natural.

9 Superficie de revolución alrededor del eje vertical

Podemos ver la catenaria en mediante la siguiente parametrización en coordenadas cartesianas:
[math] γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (0,cosh(t),t), t∈(-1,1)[/math]
Donde:
[math]γ:t\to\mathbb{R}^3[/math]
Para obtener la superficie de revolución hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.