Elasticidad en Campos escalares y vectoriales (Grupo C3)

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1 INTRODUCCIÓN

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(\rho,\theta,t)[/math], que depende de las dos coordenadas polares [math](\rho,\theta)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(\rho,\theta,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(\rho,\theta)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](\rho,\theta)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo [math]t_0[/math] dado vienen dados por: [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}. [/math]

La representación de los puntos interiores de la placa sólida nos queda en forma de corona circular como podemos observar:

Mallado del sólido con paso de muestreo h=1/10

Dicha representación se ha obtenido a través de Matlab mediante el código siguiente:

u=1:0.1:2;               % mallado del intervalo [1,2] con tamaño h= 0.1
v=0:0.1:2*pi+0.1;            % mallado del intervalo [0,2*pi] con tamaño h=0.1
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices de coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);        % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)       % dibujo del mallado
axis([-3,3,-3,3])      % región del gráfico
view(2)                % punto de vista

2 INFLUENCIA DE UN FOCO DE CALOR

La temperatura proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada por un campo escalar:[math]T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)[/math] Como se puede observar la temperatura varía únicamente con el parámetro [math]\rho[/math], por lo tanto para un mismo valor de éste la temperatura es constante sea cual sea el valor de [math]\theta[/math] comprendido entre 0 y [math]2Π[/math]. Vemos que cuanto mayor es el valor de [math]\rho[/math] la temperatura va disminuyendo debido al sentido negativo de la fórmula; luego los puntos de máxima temperatura serán aquellos que estén más cerca al origen pues están mas cerca al foco.

Temperatura a lo largo del sólido

A partir de la definición de gradiente se puede observar mediante las gráficas la dirección en la cual la temperatura varía mas rápido. El ritmo de variación de la temperatura se establece a partir del módulo del gradiente y por lo tanto será menor en los puntos más próximos al foco. [math]|\nabla T|[/math] = [math]\frac{1}{0,1+\rho}[/math] Como se observa en la figura, el gradiente es perpendicular a la superficie y por lo tanto es perpendicular a las curvas de nivel.

Gradiente de la temperatura y curvas de nivel

3 DEFORMACIONES QUE SUFRE EL SÓLIDO

Las deformaciones que sufre el sólido viene dado por un campo vectorial [math] \vec u(\rho,\theta)[/math] que nos indica el desplazamiento que sufre cada punto del sólido debido a la vibración producida al aplicar una fuerza sobre éste.

[math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}. [/math]

El mallado del desplazamiento de la placa nos viene representado en la siguiente imagen:

Campo de desplazamiento de cada punto del sólido

Para poder apreciar mejor este desplazamiento vamos a mostrar dos imágenes: en la primera se muestra el sólido antes del desplazamiento y en la segunda una vez desplazado cada punto del sólido. Como podemos apreciar la deformación del sólido no es muy notable es debido a que el módulo del desplazamiento es muy pequeño (muy próximo a 1/30)

Mallado de la placa antes y despues del desplazamiento