La Clotoide (grupo 13)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La clotoide. Grupo 13
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Dominguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math]

1 Dibujo de la curva

Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab

DIBUJO DE LA CURVA

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

2 Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración

A partir de la parametrización dada, [math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math], podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
Para el vector velocidad: [math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Para el vector aceleración: [math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores Velocidad y aceleración 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica 
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");

3 Cálculo longitud de la curva

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

4 Cálculo de los vectores tangente y normal

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
El vector tangente: [math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

El vector normal: [math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

CURVA VECTOR, TANGENTE Y NORMAL

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

5 Cálculo de la curvatura

La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente formula: [math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math]

En nuestro caso, queda:

[math] \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t [/math]

6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

Dado el Punto [math] P=\gamma (1) [/math], es decir [math] t=1 [/math], hallamos el centro y el radio utilizando las siguientes fórmulas:

El radio: [math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1 [/math]

El centro: [math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) ; Q(t)= (Q_{X},Q_{y}); Q(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+1/1\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) ; \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+1/1\cdot cos(\frac{t^2}{2})]; [/math]
[math] Q(1)=[0+(-sen(\frac{1}{2})) ; 0+cos(\frac{1}{2})]; Q(1)= [-sen(\frac{1}{2}) ; cos(\frac{1}{2})] [/math]

CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ

% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Parámetros
% Vector de parámetros
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);

%circunferencia oscculatriz
%punto para t=1
P=[x(1),y(1)]
%vector normal
n=[-sin(1/2),cos(1/2)]

%curvatura y radio de la curvatura
k=1;
R=1/1;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);

%centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
fprintf('El radio de la curvatura es %f,%f \n',Q);

tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);

%dibujamos
figure
hold on
plot(x,y,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(P(1), P(2),'*k','linewidth',1)

plot(xx,yy,'b')
axis equal
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');

7 La Clotoide

La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.

La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.

Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.

8 Imágenes de estructuras

La clotoide está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.

9 Superficie reglada

Consideramos la hélice de [math] \mathbb{R}^3 [/math], que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
[math] \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cos(t),sen(t),t), t∈(0,4) [/math] dibujamos la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director [math] \vec e_{p} [/math]

SUPERFICIE REGLADA

u=linspace(0,1,100);
v=linspace(0,4*pi,100);

[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mx=cos(Mv)+(Mu.*cos(Mv));
My=sin(Mv)+(Mu.*sin(Mv));
Mz=Mv;

surf(Mx,My,Mz)
shading flat

Un ejemplo de superficie reglada es: