Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v[math]\vec{j}[/math]; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

2 Mallado del fluido

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

Mallado

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

y=0:0.1:8;       
z=0:0.1:1;            
[yy,zz]=meshgrid(y,z); 
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)       
axis([0,8,-1,2])     
view(2)

(Falta poner comentarios)

3 Ecuación de Navier-Stokes estacionaria

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} [/math]

siendo, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] ; [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math]; [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math] ,describiendo el movimiento de un fluido viscoso.

Sabiendo que [math](\vec{u},p)[/math], satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: [math]\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} [/math], que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; [math]\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)[/math] es el campo de presiones del fluido y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga f(y) ¿que es f(y)??

Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

1.)[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} [/math]

y sustituyendo con nuestros datos:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/math]

2.)Gradiente del campo de presiones:

[math]\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}[/math]

3.)Laplaciano,[math]\Delta\vec{u} [/math] , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]

• Calculamos la divergergencia:

[math]\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0[/math]

Así [math]\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0[/math]

La interpretación de que [math](\nabla \cdot \vec{u})=0[/math], verifica la condición de incompresibilidad. Si [math](\nabla \cdot \vec{u})\lt0[/math] , el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial tendería a volverse más denso. Por otro lado, si [math](\nabla \cdot \vec{u})\gt0[/math], el fluido se vuelve menos denso. Finalmente, el concepto de divergencia cero es muy importante en la dinámica de fluidos y la electrodinámica. Esto indica que, aunque el fluido se mueve libremente, su densidad permanece constante. Esto es particularmente útil cuando se modelan fluidos incompresibles, como el agua.

• Calculamos el rotacional:

[math]\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}[/math]

• Y finalmente calculamos [math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)[/math]:

[math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}=-f''(z)\vec{j}[/math]

Lo que quiere decir que [math]\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}[/math].

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

[math]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}[/math]

[math] p2-p1=μ\cdot f''(z)[/math]

[math] f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} [/math]

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular [math]f'(z)[/math] y [math]f(z)[/math] facilmente integrando. Obteniendo:

[math] f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} [/math]

[math] f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}[/math]

Suponemos que la velocidad del fluido en [math]y=0,1[/math] coincide con los planos inferior y superior respectivamente, por lo que finalmente llegamos al campo vectorial de velocidades.

[math] f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z\cdot (z-1)}{2\cdotμ}\vec{j} [/math]

4 Campo de presiones y campo de velocidades

Suponiendo que [math]\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1[/math], dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

CAMPO DE VELOCIDADES:

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

[math]\vec{u}(y,z)=\frac{-(z^2-z)}{2}\vec{j}[/math]

De la fórmula superior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura. Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]); 
 uy=inline('(-(z.^2-z))./(2)','y','z');
 uz=inline('0.*y','y','z'); 
 U=uy(Y,Z);
 V=uz(Y,Z);
 quiver(Y,Z,U,V)
 axis([0,8,-1,2])

Campo de velocidad del fluido

Interpretación de la figura

Podemos observar que la velocidad es nula en las paredes del canal,en z=0 y z=1. Como habiamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal. Además, observamos que la velocidad máxima se alcanza en z=0.5,esto lo comprobaremos analíticamente en apartados posteriores.

CAMPO DE PRESIONES:

Utilizando la fórmula del campo de presiones:

[math] p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)[/math]

hemos obtenido:

[math] p(x,y)=3-y[/math]

Logrando representarlo mediante el siguiente código:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); 
figure (1);
p=3-Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);

Campo de presiones del fluido

Interpretación de la figura

En la figura, observamos que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo. Las presiones altas estan representadas en amarillo y las más bajas en azul.La caída de presión en una tubería o canal es la pérdida de energía dinámica del fluido debido al rozamiento de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las contiene. Es por ello que ha medida que avanzamos la perdida de presión es cada vez mayor.La forma de evitar esa caida de presiones, sería aumentado el diametro de la tubería, porque al haber más espacio el rozamiento seria menor, por lo que habría menos perdida de carga.

5 Líneas de corriente del campo [math]\vec{u}[/math]

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo [math]vec{u}[/math] (las líneas que son tangentes a [math]vec{u}[/math] en cada punto). Para esto calculamos el campo [math]vec{v}[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]vec{u}[/math], utilizando:

[math]\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}[/math]

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

[math]\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\frac{(p2-p1)\cdot z\cdot(z-1)}{2μ}\vec{j}=\frac{(p2-p1)\cdot z\cdot(z-1)}{2μ}\vec{k}[/math]

Ahora vamos a demostrar que [math]vec{w}[/math] es irrotacional:

[math]\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \frac{(p2-p1)\cdot z\cdot(z-1)}{2μ} \end{vmatrix}[/math]

Operando obtenemos, que: [math]\nabla\times\vec{v}=0[/math], por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular [math]\psi[/math], el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de [math]\vec{u}[/math]

• Aplicamos la definición:

[math] \nabla \psi (y,z)= \vec{w} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ w_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ w_2 [/math]

• Operamos:

[math]\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)[/math]

• Derivamos con respecto a [math]z[/math], y teniendo en cuenta [math]p1=2,p2=1,μ=1[/math]

[math] \frac{\partial \psi}{\partial z}=-\frac{z^2-z}{2μ} \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=-\frac{z^2-z}{2μ}[/math]

• Integrando:

[math]f(z)=\int\frac{-1}{2}(z^2-z) \ dz=\frac{1}{12}(-2z^3+3z^2)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}[/math]

• Simplificando:

[math] \psi (y,z)=\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}[/math]

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);

Líneas de corriente de [math]\vec{u}[/math]

Interpretación de la figura:

Como se puede observar en los gráficos, las líneas de corriente de [math]vec{u}[/math] son tangentes a la velocidad del fluido.En regimen estacionario las lineas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido.EL hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares,es decir, no existen fuentes o sumideros.

6 Velocidad máxima del fluido

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

[math]\vec{u}(y,z)=\frac{-(z^2-z)}{2}\vec{j}[/math] [math]\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-2z+1=0 [/math]

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es [math]z=\frac{1}{2}[/math]

Comprobamos que esto tiene sentido, ya que en el gráfico del campo de velocidades observamos que la velocidad es máxima en 0.5. También observamos que analizando esto de manera física: La velocidad máxima se encuentra en la mitad de la tubería debido a que es el lugar donde menos fricción ejercen las paredes y por esto el agua puede viajar más rápido.

7 Rotacional de [math]\vec{u}[/math]

¿Qué puntos tienen mayor rotacional?¿Es razonable?

Calculamos el rotacional utilizando la expresión:

[math]\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{(p_2-p_1)\cdot z\cdot (z-1)}{2\cdotμ} & 0 \end{vmatrix}[/math]

Operando, obtenemos: [math]\nabla\times\vec u=-\frac{(p2-p1)(2z-1)}{2μ}\vec{i}[/math]

Y sustituyendo los valores [math]p1=1, p2=2, μ=1 [/math], tenemos que [math]\nabla\times\vec u=z-\frac{1}{2}\vec{i}[/math], siendo su módulo [math]\left | \nabla\times\vec u=\right |z-\frac{1}{2}[/math]. Como podemos obervar solo depende del parámetro [math]z[/math].

Con el siguiente código de MATLAB,

y=0:0.05:8;
 z=0:0.05:1;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z); 
 rota=abs(Y-1/2); 
 surf(Y,Z,rota)
 axis([0,8,-1,2])
 view(2)

Rotacional del campo velocidad

A partir de la gráfica podemos obervar que el máximo del rotacional se alcanza en los puntos [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math], alcanzando el mínimo en el punto [math]z=0.5[/math]. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo [math]z=0.5[/math], que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. Los puntos con menor tendencia a la rotación [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math], se encuentran en las paredes del canal.

8 Temperatura máxima

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:

[math] T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ[/math]

9 Gradiente de la temperatura

¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?

10 Caudal del canal

Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?