Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
[math]T(x,y)=cos((y-3)^2+x)[/math].

Campo de desplazamientos, [math] \vec u[/math], producido por la acción de una fuerza determinada:
[math] \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) [/math]

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

4 Desplazamiento de la placa

Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo [math] \vec u(ρ,θ) [/math].

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.













El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:

h= 0.2;                          %Paso de muestreo                                 
rr= 1:h:2;                       %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);        %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)                  
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16); 
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)                     
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT); 
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones. 
hold on
figure                                 
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

5 Divergencia

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos [math] \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) [/math], su divergencia es: cambiar

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:

[math]\nabla\cdot\vec u=cambiar[/math]

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de [math]\vec u[/math] es máxima con un valor de 1.3591 en el punto ([math]\sqrt{2}[/math],[math]\sqrt{2}[/math]), mínima con valor -1.3591 en ([math]-\sqrt{2}[/math],[math]\sqrt{2}[/math]) y nula donde [math]\rho=1[/math] o donde θ=pi/2. A continuación el código de las gráficas.

h= 0.2;                                %Paso de muestreo                                
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);              %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)));  %Función de divergencia
subplot(1,2,2)                         %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1)                         %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)

6 Rotacional

El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
[math]\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|[/math].
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1) Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:

h=0.1;                                       %Paso de muestreo                                
rr=1:h:2;                                    %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);                    %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1);                              %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')                              %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT); 
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

7 Tensiones

Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
[math]\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon [/math]

Siendo [math]\epsilon [/math] la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u [/math] conocido como tensor de deformaciones.
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.

7.1 Tensor de Deformaciones

Se define el tensor de deformaciones [math]\epsilon(\vec u(ρ,θ))[/math] como la parte simétrica del tensor [math] \nabla{\vec u(ρ,θ)} [/math], llamado también gradiente del campo de desplazamientos [math]\vec u(ρ,θ) [/math]:

[math]\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}[/math].

Para ello se calculan [math]\nabla{\vec u(ρ,θ)}[/math] y [math](\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t[/math].

7.2 Tensor de Tensiones

El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:

8 Tensiones Normales

A pesar de que el desplazamiento sea plano ([math]\vec u(θ) [/math] solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión [math] \vec σ[/math] al eje normal del plano, que tiene dirección [math]\vec n[/math]. No es más que el tensor:

[math] T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ[/math]

8.1 Tensión normal en la dirección que marca el eje [math]\vec e_ρ [/math]

El módulo de la tensión normal es el siguiente:

8.2 Tensión normal en la dirección que marca el eje [math]\vec e_θ [/math]

El módulo de la tensión normal es el siguiente:

8.3 Tensión normal en la dirección que marca el eje [math]\vec e_z [/math]

El módulo de la tensión normal es el siguiente:

8.4 Visualización de las tensiones normales

Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección [math] \vec e_θ [/math] son mayores que a las direcciones de [math]\vec e_ρ [/math] y [math]\vec e_z [/math]. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de [math] \vec e_θ [/math] tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.



Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:

%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
 
 
%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
 
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');
 
subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');
 
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure
 
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');

8.5 Deformación por Tensiones Normales

Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes [math] \vec e_ρ [/math] y [math] \vec e_z [/math], mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje [math] \vec e_θ [/math].Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.

Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje [math] \vec e_ρ [/math]

%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt)); 
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt)); 
 
X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')

Archivo:Javidefor2

Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje [math] \vec e_θ [/math]

%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); 
 
X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;
 
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math] \vec e_z [/math]

%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;
 
M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
 
X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z; 
 
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')