Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
[math]T(x,y)=cos((y-3)^2+x)[/math].

Campo de desplazamientos, [math] \vec u[/math], producido por la acción de una fuerza determinada:
[math] \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) [/math]

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

4 Desplazamiento de la placa

Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo [math] \vec u(ρ,θ) [/math].

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.













El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:

h= 0.2;                          %Paso de muestreo                                 
rr= 1:h:2;                       %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);        %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)                  
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16); 
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)                     
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT); 
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones. 
hold on
figure                                 
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

5 Divergencia

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos [math] \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) [/math], su divergencia es: cambiar

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:

[math]\nabla\cdot\vec u=cambiar[/math]

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de [math]\vec u[/math] es máxima con un valor de 1.3591 en el punto ([math]\sqrt{2}[/math],[math]\sqrt{2}[/math]), mínima con valor -1.3591 en ([math]-\sqrt{2}[/math],[math]\sqrt{2}[/math]) y nula donde [math]\rho=1[/math] o donde θ=pi/2. A continuación el código de las gráficas.

h= 0.2;                                %Paso de muestreo                                
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);              %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)));  %Función de divergencia
subplot(1,2,2)                         %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1)                         %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)

6 Rotacional

El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
[math]\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|[/math].
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1) Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:

h=0.1;                                       %Paso de muestreo                                
rr=1:h:2;                                    %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);                    %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1);                              %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')                              %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT); 
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')