Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v[math]\vec{j}[/math]; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

2 Mallado del fluido

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

Mallado

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

y=0:0.1:8;       
z=0:0.1:1;            
[yy,zz]=meshgrid(y,z); 
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)       
axis([0,8,-1,2])     
view(2)

(Falta poner comentarios)

3 Ecuación de Navier-Stokes estacionaria

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} [/math]

siendo, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] ; [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math]; [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math]

describiendo el movimiento de un fluido viscoso.

Sabiendo que [math](\vec{u},p)[/math], satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: [math]\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} [/math], que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; [math]\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)[/math] es el campo de presiones del fluido y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga f(y) ¿que es f(y)??

Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

1.)[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} [/math]

y sustituyendo con nuestros datos:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/math]

2.)A continuación calculamos el siguiente término, que es el gradiente del campo de presiones,

[math]\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}[/math]

3.)Por último, calculamos el Laplaciano,[math]\Delta\vec{u} [/math] , del campo de velocidades. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]

• Primero hacemos el cálculo de la divergergencia:

[math]\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0[/math]

Así [math]\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0[/math]

La interpretación de que [math](\nabla \cdot \vec{u})=0[/math], verifica la condición de incompresibilidad. Si [math](\nabla \cdot \vec{u})\lt0[/math] , el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial tendería a volverse más denso. Por otro lado, si [math](\nabla \cdot \vec{u})\gt0[/math], el fluido se vuelve menos denso. Finalmente, el concepto de divergencia cero es muy importante en la dinámica de fluidos y la electrodinámica. Esto indica que, aunque el fluido se mueve libremente, su densidad permanece constante. Esto es particularmente útil cuando se modelan fluidos incompresibles, como el agua.

• Ahora calculamos el rotacional:

[math]\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}[/math]

• Por último calculamos [math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)[/math]:

[math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}=-f''(z)\vec{j}[/math]

Lo que quiere decir que [math]\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}[/math].

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

[math]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}[/math]

[math] p2-p1=μ\cdot f''(z)[/math]

[math] f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} [/math]

Una vez que tenemos calculada la segunda derivada de campo vectorial de velocidades, podemos calcular lo que valdría [math]f'(z)[/math], y por consiguiente [math]f(z)[/math]. Para ello simplemente tenemos que integrar, [math]f''(z), f'(z)[/math], respectivamente. De esta forma obtenemos:

[math] f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} [/math]

[math] f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}[/math]

Suponemos que la velocidad del fluido en [math]y=0,1[/math] coincide con los planoes inferior y superior respectivamente, por lo que finalmente llegamos al campo vectorial de velocidades.

[math] f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z\cdot (z-1)}{2\cdotμ}\vec{j} [/math]

4 Campo de presiones y campo de velocidades

Suponiendo que [math]\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1[/math]. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades

7 Rotacional de [math]\vec{u}[/math]

¿Qué puntos tienen mayor rotacional?¿Es razonable?

8 Temperatura máxima

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:

[math] T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ[/math]

9 Gradiente de la temperatura

¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?

10 Caudal del canal

Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?