Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores |
Oliver Prada Sanchidrián; Rafael Garcia Lopez; Gonzalo Ramirez Mateo; Alejandra Martin Moreno; Carlos de Ana de Miguel |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:
- La temperatura T(x,y)
- El campo de desplazamientos [math]\vec u(x,y)[/math], producido por la acción de una fuerza.
Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.
2 Presentación de la placa
Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen. A continuación se muestra la sección de la placa.
El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:
%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);
3 Temperatura
La temperatura viene determinada por la siguiente función:
[math] T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)[/math]
Curvas de nivel
Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.
En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura, el punto en el que alcanza su valor máximo es el (-1,0).
El código empleado para dibujar las ls gráficas anteriores es el siguiente:
%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off
Gradiente de la temperatura
Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:
En este caso particular:
A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura. (…como se puede apreciar este es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma. Para este caso se observa que la temperatura crece en la dirección -[math]\vec i[/math]…)
El código empleado para dibujar las gráficas anteriores es el siguiente:
%Gradiente de Temperatura
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, Px, Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Gradiente de la Temperatura')
4 Ley de Fourier
La ley de Fourier, conocida también como la ley calorífica [math]\vec Q[/math],
afirma que existe una proporcionalidad entre el flujo de la energía y el gradiente de la temperatura, viaja de de acuerdo la fórmula:
Esta ley aplicada a nuestro caso particular, proporciona un campo vectorial. Este campo se asemeja al obtenido en el apartado anterior, pero con la dirección opuesta.
Esta gráfica adjunta corresponde al siguiente código de programación:
%LEY DE FOURIER
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Temp=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
contour(Mx,My,Temp,30);
%Añadimos al dibujo de las líneas de nivel del gradiente de temperatura
hold on
[Px,Py]=gradient (Temp,0.1,0.1);
quiver(u,v, -1.*Px, -1.*Py)
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('LEY DE FOURIER')
5 Desplazamiento
Campo de vectores de desplazamientos
El campo de desplazamiento corresponde al campo de vectores generado en los puntos de mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, t=0.
El código correspondiente es:
%CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos vector desplazamiento
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
%Representamos campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
title ('Campo de desplazamientos')
Sólido antes y después del desplazamiento
El campo de deformaciones mencionado anteriormente, podemos asumir que se generarán ondas a lo largo de la placa. Por ello, para observar la variación, será necesario la realización de la placa antes y después del desplazamiento.
El código empleado para llevar a cabo la comparación se expone a continuación:
%SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
h=0.2;
u=-1:h:1;
v=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= (Mx/3).*sin((pi*My)/12);
Uy= zeros(size(Mx));
figure(1)
%ANTES
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-1,1,0,12]);
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(2,2,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-1,1,0,12]);
title('Después del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-1,1,0,12]);
title ('Comparación')
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
