Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29.

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales. Grupo 29
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Oliver Prada Sanchidrián; Rafael Garcia Lopez; Gonzalo Ramirez Mateo; Alejandra Martin Moreno; Carlos de Ana de Miguel
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El propósito de este artículo es analizar el desplazamiento experimentado por una pieza después de aplicar una fuerza.
Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

• La temperatura T(x,y)
• El campo de desplazamientos [math]\vec u(x,y)[/math], producido por la acción de una fuerza.

Para ello, se utilizará el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

2 Presentación de la placa

Para simplificar las operaciones, se va a tomar una sección del objeto a estudiar, esta es la resultante de intersecar a la pieza con un plano ortogonal a su eje axial, lo que resulta una placa rectangular plana, centrada en el origen. A continuación se muestra la sección de la placa.

Mallado de nuestra placa rectangular plana

El código empleado para dibujar la placa es el siguiente:

%MALLADO
%Región de la placa
h=2/10
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Mallado con las matrices Mx e My
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,0*My);
%Ejes
axis([-5,5,-0.5,12.5])
%Region del dibujo
title(‘Mallado de la placa’);
xlabel(‘Eje X’);
ylabel(‘Eje y’);
view(2);

3 Temperatura

La temperatura viene determinada por la siguiente función:

[math] T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)[/math]

Curvas de nivel

Esta fórmula nos proporciona la siguiente representación gráfica. La primera imagen muestra por colores la variación en el recinto observable, y la segunda representa las curvas de nivel del campo de temperaturas.

Curvas de nivel del campo de temperaturas

En las gráficas anteriores se aprecia, como la zona mas fría está concentrada en la parte superior derecha. Según se aleja del foco de frío la placa va aumentando la temperatura.

El código empleado para dibujar las ls gráficas anteriores es el siguiente:

%CURVAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DE LA PLACA
x=-1:0.2:1
y=0:0.2:12
[X,Y]=meshgrid(x,y)
%Definición de la temperatura
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Representación de curvas de nivel
hold on 
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
view(2)
title(“Temperatura”) 
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,0)
colorbar
axis([-1,1,0,12])
title(“Curvas de nivel de la temperatura”)
xlabel(“Eje X”)
ylabel(“Eje Y”)
hold off

Gradiente de la temperatura

Para realizar el cálculo del gradiente, se emplea su respectiva expresión en cartesianas:

[math]\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}[/math]

En este caso particular:

[math]\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=\gt3*\frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j [/math]

A continuación se presenta una representación del gradiente de la temperatura. (…como se puede apreciar este es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura ya que marca la dirección de máximo crecimiento de la misma. Para este caso se observa que la temperatura crece en la dirección -[math]\vec i[/math]…)

El gradiente de temperatura

El código empleado para dibujar las ls gráficas anteriores es el siguiente:

%GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T = 3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);;
contour(X,Y,T,30);
% Gradiente de T
dx = 2.*(X-3);
dy = 200.*Y-100;
% Título
title('Gradiente de temperatura');
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar