Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas.

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3][/math]. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura [math]T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)[/math] y el campo de desplazamientos: [math] u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} [/math] (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente).
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:

1 Dibujo Lámina

Para el dibujo del mallado se tomarán la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo, tomaremos [math]\frac{1}{10}[/math] (dato del enunciado) para las variables x e y.
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán en cartesianas.

2 Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas

La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar:

[math]T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)[/math]

Haciendo uso del comando "contour", se obtiene el siguiente gráfico de las curvas de nivel:

2.2 Cálculo de [math]\nabla T[/math]

Para visualizar el campo vectorial gradiente, empleamos el comando "gradient" y lo representamos gráficamente.

2.3 Ortogonalidad de [math]\nabla T[/math] respecto a las curvas de nivel

Representando el campo vectorial [math]\nabla T[/math] sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

3 Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica [math]\vec{Q}[/math]

Según la Ley de Fourier, la energía calorífica [math]\vec{Q}[/math] viaja de acuerdo a la fórmula [math]\vec{Q} = −\kappa\nabla T[/math], donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por:

[math]\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j [/math]

Por tanto, queda:

[math]\nabla T(x,y) =\ \vec i+\ \vec j[/math]

Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.

4 Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0

Parametrizando, conseguimos pasar el campo vectorial [math]\vec{u}[/math] dado a coordenadas cartesianas. Representándolo sobre nuestro sólido, obtenemos el siguiente gráfico:

5 Desplazamiento provocado por el campo vectorial [math]\vec{u}[/math]

Dado el campo: [math] u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} [/math] queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

5.1 Dibujo antes del desplazamiento

Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.

5.2 Dibujo después del desplazamiento

Tras la actuación del campo vectorial [math]\vec{u}[/math], la posición del sólido es la siguiente:

6 Dibujo de [math]\nabla \cdot \vec{u}[/math] en t=0

El operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales en cilíndricas viene dado por la fórmula de:

[math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })][/math]

Tomando nuestro campo vectorial: [math] u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} [/math]

[math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = [/math]

7 Cálculo y dibujo de [math]|\nabla \times \vec{u}|[/math] en t=0

El operador diferencial del rotacional de campos vectoriales en cilíndricas viene dado por:

[math]\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right| = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{U} \cdot (-sin(2\cdot V))\cdot log(3-U))[/math].

Donde los puntos con mayor rotacional quedan tal que:

8 Tensor Tensiones

En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión:

[math]\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon[/math]

Donde 1 es el tensor identidad, [math]\lambda=\mu=1[/math] y [math]\epsilon[/math] es el tensor deformaciones, que viene dado por [math]\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2[/math]. Por tanto, si calculamos [math]\epsilon[/math] y [math]\sigma[/math] matricialmente, podemos obtener los siguientes apartados.

8.1 Tensiones normales en la dirección de [math]\vec{i}[/math]

Vienen definidas por: [math]\vec{i}·\sigma·\vec{i}[/math]

[math]\vec{i}·\sigma·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-3}{2}cos(2\theta)/) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

8.2 Tensiones normales en la dirección de [math]\vec{j}[/math]

Vienen definidas por: [math]\vec{j}·\sigma·\vec{j}[/math] [math]\vec{j}·\sigma·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

8.3 Tensiones normales en la dirección de [math]\vec{k}[/math]

Vienen definidas por: [math]\vec{k}·\sigma·\vec{k}[/math] [math]\vec{k}·\sigma·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0[/math]

Como todas son nulas no es posible su representación.

10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

[math] \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_1)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}[/math]

donde [math]\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 [/math] son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m