Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas.

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]. También se suponen definidas las cantidades física de: la temperatura T (x, y) = sin (x 2 + (y − 3)\cdot2) y el campo de desplazamientos: u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ) [math]\vec{e_ρ} [/math] (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente).
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:

1 Dibujo Lámina

Para el dibujo del mallado se tomarán la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo, tomaremos [math]\frac{1}{10}[/math] (dato del enunciado) para las variables x e y.
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán en cartesianas.

2 Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas

La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar:

[math]T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)[/math]

Haciendo uso del comando "contour", se obtiene el siguiente gráfico de las curvas de nivel.

2.2 Cálculo de [math]\nabla T[/math]

Utilizamos el comando "gradient" y lo representamos gráficamente.

3 Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica [math]\vec{Q}[/math]

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica [math]\vec{Q}[/math] viaja de acuerdo a la fórmula [math]\vec{Q}[/math] = −κ∇T, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por:

[math]\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j [/math]

Por tanto, queda:

[math]\nabla T(x,y) =\ \vec i+\ \vec j[/math]

Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.

5 Desplazamiento provocado por el campo vectorial [math]\vec{u}[/math]

Dado el campo: u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ) [math]\vec{e_ρ} [/math] se debe de representar el desplazamiento de nuestra figura respecto a él. Quedando en los tres gráficos representados el sólido antes y después del desplazamiento además de la comparación de ambos momentos.

8 Tensor Tensiones

[math]\vec{i}·\sigma·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-3}{2}cos(2\theta)/) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\vec{j}·\sigma·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\vec{k}·\sigma·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0[/math]

Como todas son nulas no es posible su representación.