Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0

1 Representación de la sección transversal

Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos e realizar una sección transversal por el plano [math]x_3=0[/math]. Dando como resultado la siguiente sección.

Sección trasversal de los dos cilindros

Para realizar esta sección se ha usado el siguiente programa en Matlab.

h=0.08;                 % intervalo para dividir los parámetros 
u=1:h:2;                % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi;             % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);  % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);         % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx);       % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3])       % región de vista del dibujo
view(2)                 % Elección de perspectiva

2 Cálculo de las velocidades

2.1 Definición del campo de velocidades

Por el enunciado del problema, sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math]

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva) tendremos

[math](µ∆\vec{u}=vec{0}[/math]

2.2 Cálculo del laplaciano del campo de velocidades

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

[math]∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}[/math]

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]

2.2.1 Gradiente de la divergencia

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. ¿A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible?.

[math] ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 [/math]

A la vista de los resultados podemos afirmar que que se trata de un fluido incompresible. Además de esto, como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

[math] ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} [/math]

2.2.2 Rotacional del campo de velocidades

[math](\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}[/math]

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

[math]\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}[/math]

2.2.3 Calculo final

Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math] [math]\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}[/math] [math]\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}[/math]

2.3 Calculo de la ecuación de Navier-Stocks

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math] [math] \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}[/math] [math]∆\vec{u} = \vec{0}[/math] [math]\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} [/math] [math][-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} [/math]

4 Cálculo del caudal

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

[math]\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} [/math]

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies [math]S_1[/math] y [math]S_2[/math], tal y como representa la siguiente figura:

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

[math]\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv [/math]

[math]S[/math] es la composición de las superficies [math]S_1[/math] y [math]S_2[/math], [math]D[/math] es el dominio de los valores que adoptan [math]u[/math] y [math]v[/math], y escogeremos el vector [math]\vec{e_\theta}[/math] como sentido de orientación de las superficies.

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

[math]\ S_1: \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) \left\{\begin{matrix} u\in (1,2) \\ v\in (0,1) \end{matrix} \right [/math] [math]\ S_2 [/math]: [math]\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) [/math] donde [math]\{\begin{matrix} u\in (1,2) \\ v\in (0,1) \end{matrix} [/math] <\center>