Fluido alrededor de un obstáculo circular (Grupo 20A)

1 Introducción

Un fluido es un medio continuo tal que en reposo no transmite tensión tangencial. No es capaz soportar su propio peso, y tiende a adoptar las características del recipiente en el que se encuentra.

Los fluidos pueden ser líquidos o gases, se van a estudiar los fluidos incompresibles, que son aquellos cuyo volumen no disminuye al ejercer una fuerza sobre él, este tipo de fluidos son los líquidos.

En este artículo se estudiará el comportamiento de estos fluidos al fluir alrededor de un obstáculo con forma circular. Por conveniencia se trabajará con coordenadas cilíndricas.

2 Mallado

Se empezará dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido, que será el exterior del círculo unidad. Para llevar a cabo esta gráfica, se tomará un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo [math][-5,5]×[-5,5][/math].

Mallado del anillo

rho=linspace(1,5,30);                        %Se definen rho y theta 
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th);                      %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V);                                 %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z);                               %Dibujo de la placa 
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Se representa el obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);                           %Se fijan los ejes 
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off

3 Función Potencial del Fluido

Una vez definida la región que se va a estudiar, se analizará la velocidad de las partículas del fluido, que viene dada por su función potencial.

La función potencial establecida es [math] \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\log({\rho}) [/math]. Se representará la función potencial, para luego examinar la velocidad de las partículas y el movimiento del fluido.

Mallado del anillo

rho=linspace(1,5,30);                             %Se define rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th);                           %Se crea el mallado

hold on
X=U.*cos(V);                                      %Se parametriza la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*log(rho);  %Se define la función potencial
Z=f(U,V);                                         %Se aplica la función potencial
surf(X,Y,Z);                                      %Se representa la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3);      %Se representa el obstáculo

view(2);  
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off

4 Campo de Velocidades del Fluido

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el gradiente de la función potencial. Esto determina el valor y la dirección de máximo crecimiento de la función potencial.

El gradiente de la función potencial determinada es [math] \vec u=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)+\frac{\sqrt{2}}{\rho}]\vec e_\rho-[(1-\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta [/math]

4.3 Rotacional Nulo y Divergencia Nula

El rotacional y la divergencia del campo proporcionan información sobre las características físicas del fluido.

El operador rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. Considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto.

[math]\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\ \cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( {1} +\frac{1}{\rho ^2} \right )] & 0 \end{vmatrix}=[/math]