Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0

1 Representación de la sección transversal

Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos e realizar una sección transversal por el plano [math]x_3=0[/math]. Dando como resultado la siguiente sección.

Archivo:SeccionB9.jpeg

Sección trasversal de los dos cilindros

Para realizar esta sección se ha usado el siguiente programa en Matlab.

h=0.08;                 % intervalo para dividir los parámetros 
u=1:h:2;                % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi;             % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);  % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);         % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx);       % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3])       % región de vista del dibujo
view(2)                 % Elección de perspectiva

2 Cálculo de las velocidades

2.1 Definición del campo de velocidades

Por el enunciado del problema, sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math]

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer t´ermino (parte convectiva) tendremos

[math](µ∆\vec{u}=vec{0}[/math]

2.2 Cálculo del laplaciano del campo de velocidades

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

[math]∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}[/math]

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]

2.2.1 Gradiente de la divergencia

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. ¿A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible?.

[math] ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 [/math]

Por lo tanto, se confirma la hipótesis, y tenemos la certeza de que se trata de un fluido incompresible. Además de esto, como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

[math] ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} [/math]

, lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo.