Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas.

1 Dibujo Lámina

[math]u_\rho=\frac{1}{2}[/math]

5 Tensor Tensiones

Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: [math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2[/math] que es la parte simétrica de [math]\vec{u}[/math].

El otro es el tensión de tensiones: [math]σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ[/math], donde [math]1[/math] es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio [math]R^3[/math] y [math]λ[/math] y [math]µ[/math] son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de [math]λ=µ=1[/math] y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de [math]\vec{u}[/math], para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: [math] ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} [/math].

Como solo tiene en una direccion ([math]\vec{j}[/math]) valor de x, va a ser una matriz con una sola componente [math] ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math] Luego la traspuesta del gradiente de u [math] ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math].

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones [math]Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{5}cos(x) & 0\\\frac{1}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/math]. También sabemos que [math]∇\vec{u}=0[/math]

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como [math]σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\\frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

[math]\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{5}cos(x) & 0\\ \frac{2}{5}cos(x) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0[/math]

Como todas son nulas no es posible su representación.