Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Parametrización de una curva plana. La cicloide
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

1.1 Definición

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t))[/math], [math]t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]

[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]

[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1.2 Interpretación

La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R

2 Representación de la curva

Figura 2: Representación gráfica de la curva.

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: [math]R=1, a=0, b=2\pi[/math]. Por tanto, la curva se expresa según:

[math] γ(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

2.1 Código

%Representación de la cicloide

t=0:0.1:2*pi;  %Valores del intervalo
x=t-sin(t);    %Coord. X de la curva
y=1-cos(t);    %Coord. Y de la curva

plot (x,y);    
axis equal;   
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
grid on
box off
legend("Cicloide")

3 Vectores Velocidad y Aceleración

Figura 3: Campo de velocidades y campo de aceleraciones.

3.1 Código

%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:0.3:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; %curva
quiver (x , y , V1 , V2 , 'b') ; %velocidad
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g') ; %aceleracion
axis equal
hold off;
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo

4.1.1 Aproximación de la integral

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio

6 Bibliografía

Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales