Elasticidad en Campos escalares y vectoriales (Grupo C3)
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Contenido
1 INTRODUCCIÓN
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(\rho,\theta,t)[/math], que depende de las dos coordenadas polares [math](\rho,\theta)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(\rho,\theta,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(\rho,\theta)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](\rho,\theta)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo [math]t_0[/math] dado vienen dados por: [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}. [/math]
La representación de los puntos interiores de la placa sólida nos queda en forma de corona circular como podemos observar:
2 INFLUENCIA DE UN FOCO DE CALOR
La temperatura proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada por un campo escalar:[math]T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)[/math] Como se puede observar la temperatura varía únicamente con el parámetro [math]\rho[/math], por lo tanto para un mismo valor de éste la temperatura es constante sea cual sea el valor de [math]\theta[/math] comprendido entre 0 y [math]2Π[/math]. Vemos que cuanto mayor es el valor de [math]\rho[/math] la temperatura va disminuyendo debido al sentido negativo de la fórmula; luego los puntos de máxima temperatura serán aquellos que estén más cerca al origen pues están mas cerca al foco.
Por otra parte, si lo miramos en valor absoluto obtenemos la variación de temperatura en cada punto de la placa, siendo más grande la variación de la misma en los puntos más alejados del foco.
