Trabajo 2. Visualización de Campos Escalares. Grupo 29-C
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29-C |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2022-23 |
| Autores | Caroline Vidal Rainho. Carlos Eduardo Sayalero Gómez. Diego Andrés Vásquez Peñaloza. Nicolás López Alcalde. Sergio Alejandro Pareja barbarito. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x, y)[/math], que viene dada por:
y los desplazamientos [math]\vec{u}(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math]\vec{r_{0}}(x, y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
donde [math]\vec{a}[/math] se conoce como amplitud, [math]k\gt0[/math],es el número de onda, [math]\vec{d}[/math] es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
En este caso, tendremos los siguientes valores: [math] \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}[/math], [math]\vec{d}=\vec{i}[/math] y [math]k=1 [/math] , con los cuales obtenemos el siguiente vector [math]\vec{u}(x,y,t)[/math]
1. Mallado de la placa.
En primer lugar, tenemos de dibujar el mallado que representa los putnos interiores del sólido. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo [math](x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5][/math] y como paso de muestreo [math]h = \frac{2}{10}[/math] para las variables x e y.
% Dibujar un mallado que represente los puntos del sólido
% Definimos la malla a partir de los vectores en coord. cartesianas:
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
% Realizamos el mallado:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% Dibujamos la placa:
mesh(xx,yy,0*xx)
% Ajustamos los ejes para que tengan la misma escala:
axis equal
% Ajustamos los ejes según el enunciado:
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
% Para ver la placa desde arriba:
view(2)
2. Temperatura de la placa.
En este apartado se nos pide representar las curvas de nivel de la temperatura de la placa y, a partir de los gráficos, decir en qué punto se encuentra la temperatura máxima.
% Dibujar las curvas de nivel
% Discretizamos variables
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
% Realizamos el mallado:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% Calculamos la temperatura para cada punto del mallado
Temp=(xx-6).^2+(10*(yy-3/2)).^2;
% Dibujamos las curvas de nivel en la placa
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
% Para ver la placa desde arriba:
view(2)
[M,c]=contour(xx,yy,Temp,[0 1.1 2 5 10 20 30 40 50 100 150 200],'ShowText','on')
hold off
Como se puede apreciar en la figura, en la parte inferior del sólido, las temperaturas alcanzadas son mayores que en la parte superior. Esto se puede dar, entre otras cosas, porque el sólido está siendo calentado desde su parte inferior.
3. Gradiente de la temperatura.
Calcular [math]∇T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que [math]∇T[/math] es ortogonal a dichas curvas.
Realizaremos el calculo del gradiente:
% Representación del gradiente de temperatura
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
% Realizamos el mallado:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% Calculamos la temperatura para cada punto del mallado
Temp=(xx-6).^2+(10*(yy-3/2)).^2;
% Calculamos las derivadas parciales de T
GradTx=2.*(xx-6);
GradTy=200.*(yy-3/2);
% Dibujamos el gradiente
hold on
mesh (xx,yy,0*xx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
contour(xx,yy,Temp,[0 1.1 5 20 50 150 200 240 250 260]);
quiver(xx,yy,GradTx,GradTy,1,'r');
hold off
En esta ocasión, es necesario incorporar otra imagen, la cual hace zoom en la parte superior derecha de la imagen original. Esto se hace con la intención de apreciar mejor el ángulo que forman los vectores del gradiente con el mallado pedido.
4. Campo de vectores en el instante inicial.
% Dibujar el campo de vectores en el mallado
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
%Realizamos el mallado:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Indicamos las componentes del vector desplazamiento:
Ux=2/5.*sin(xx);
Uy=Ux.*0;
%Dibujamos el campo de desplazamientos:
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
quiver(xx,yy,Ux,Uy,'r');
5. Placa antes y después de las deformaciones
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
%Realizamos el mallado:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Indicamos las componentes del vector desplazamiento:
Ux=2/5.*sin(xx);
Uy=Ux.*0;
%Obtenemos las nuevas posiciones del mallado
%sumando el campo obtenido en el ejercicio 4
RUx=xx+Ux;
RUy=yy+Uy;
%Dibujamos la placa original
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
%Dibujamos la placa tras haberla desplazado
subplot(2,1,2)
mesh(RUx,RUy,0*RUx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
Como se puede apreciar, al aplicar las tensiones y provocar las deformaciones, la placa se ensancha en la zona de la izquierda y a medida que nos desplazamos hacia la derecha, esta se encoge. Sin embargo, si nos seguimos desplazando hacia la derecha, vemos como el sólido se vuelve a ensanchar, para finalmente terminar encogiéndose de nuevo.
6. Divergencia del campo vectorial sobre la capa
Dibujar [math]∇·\vec{u}[/math] en [math]t=0[/math]. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de [math]\vec{u}[/math] es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
Conocido [math]\vec{u}[/math], calcularemos la divergencia:
[math]∇·\vec{u} = \frac{∂u1}{∂x}(2/5senx)+\frac{∂u2}{∂y}(0)+\frac{∂u3}{∂z}(0) = 2/5cosx[/math]
%Dibujar las curvas de nivel de la divergencia
%Discretizamos las variables x e y
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
%Creamos el mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Calculamos la divergencia para cada punto
%del mallado:
DivU=(2/5)*cos(xx);
%Dibujamos la divergencia como un campo vectorial:
subplot(2,1,1)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
quiver(xx,yy,DivU,DivU*0,'b');
%[M,c]=contour(xx,yy,DivU,[-0.4:0.05:0.4],'ShowText','on');
%c.LineWidth=2;
hold off
%Dibujamos las curvas del campo escalar definido por la divergencia de u:
subplot(2,1,2)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
[M,c]=contour(xx,yy,DivU,[-0.4:0.05:0.4],'ShowText','on');
c.LineWidth=2;
hold off
Como se comentó en el apartado anterior, y tal y como se puede apreciar en la figura, la divergencia nos da la razón con la deformación de la placa. Esto es porque cuando dicha divergencia es negativa, la placa se encoge, mientras que cuando la divergencia es positiva, esta se ensancha. Por lo que se puede ver, a la izquierda, las curvas de nivel son positivas (ensanchamiento) y a medida que nos movemos a la derecha van disminuyendo su valor hasta llegar a ser negativas (encogimiento), para luego volver a ser positivas y por último, volver a ser negativas.
7. Cálculo del rotacional
Calcular [math]|∇ × \vec{u}|[/math] en todos los puntos del sólido en [math]t = 0[/math] y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
Calcularemos el rotacional:
[math]∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 2/5senx & 0 & 0\end{vmatrix} = 0 [/math]
Por lo que el módulo será:
[math]|∇ × \vec{u}|= 0 [/math]
Al momento de calcular el rotacional, nos encontramos con que este es igual a 0. Esto, analíticamente hablando, quiere decir que el eje de rotación del sólido es nulo, por lo que este no gira sobre sí mismo y se mueve de manera uniforme.
8. Cálculo de tensiones normales en la dirección de los ejes principales
% Dibujar las tensiones normales
x=0:0.2:10;
y=0:0.2:2;
% Realizamos el mallado:
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Obtenemos las expresiones de las tensiones
TX=(6/5).*cos(xx);
TY=(2/5).*cos(xx);
TZ=(2/5).*cos(xx);
%Tensiones normales según el Eje X
subplot(3,1,1)
surf(xx,yy,TX)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
colorbar
caxis([0 0.75]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje X')
% Tensiones normales según el Eje Y
subplot(3,1,2)
surf(xx,yy,TY)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
colorbar
caxis([0 0.75]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Y')
% Tensiones normales según el Eje Z
subplot(3,1,3)
surf(xx,yy,TZ)
axis equal
axis([-0.5 10.5 -0.5 2.5])
view(2)
colorbar
caxis([0 0.75]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje Z')
9. Cálculo de tensiones tangenciales
Una vez realizados los cálculos, llegamos al resultado final de que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal al vector i son nulas, por lo que, siguiendo instrucciones del enunciado, no consideramos necesaria la representación de ninguna tensión tangencial.
10. Tensiones de Von Mises
11. Cálculo de la velocidad
12. Cálculo del módulo del desplazamiento vertical
De acuerdo a los datos proporcionados por el enunciado, y después de haber hecho los cálculos pertinenetes, se ha llegado a la conclusión de que no hay desplazamientos verticales, y que los únicos desplazamientos que hay son los horizontales, estudiados anteriormente
