Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G8
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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.
Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math].
Se pide:
- Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo [math]h=1/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].
- La temperatura del sólido viene dada por [math]T(\rho,\theta)=e^{-y}[/math]. Dibujarla.
- Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.
- Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec u=\frac{\sin(y)}{10}\vec j[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
- Si [math]\vec u[/math] determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
- Calcular la [math]\nabla \cdot \vec u[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
- Calcular [math]|\nabla \times \vec u|[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
- Definamos [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec u[/math], que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula:
[math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] donde [math]\lambda[/math] y [math]\mu[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando [math]\lambda=\mu=1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec i[/math], es decir [math]\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i[/math] y las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec j[/math], es decir [math]\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j[/math].
- Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec i[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
- Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec j[/math], es decir [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|[/math]. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.
1 Inicio
El objetivo de este trabajo es poder visualizar tanto campos escalares como vectoriales en elasticidad. Pero antes de nada, se debe dejar dos conceptos claros: Un campo escalar es la representación de una distribución espacial de una magnitud escalar, es decir, de un número, asociando un valor a cada punto del espacio. Un campo vectorial es la representación de una distribución espacial de una magnitud vectorial, asociando un vector a cada punto del espacio.
Para poder llevar acabo el objetivo de este trabajo, primero hemos de visualizar la placa rectangular dada, ya que en ella es donde vamos a dibujar los distintos tipos de campos. La mejor forma de visualizar una placa, en nuestro caso rectangular, es a partir del dibujo de un mallado. Esta mallado viene determinado por una región, [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math], la cual vamos a dibujar introduciendo el siguiente código en Matlab:
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3]);
view(2)
Al ser una placa en 2D debemos abatirla, pues si no la veríamos en 3D.
2 2 Efecto de la Temperatura
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas [math]T(\rho,\theta)=e^{-y}[/math]. que es un campo escalar que depende sólo de la variable y, por lo tanto será cte para cada valor de yo.Observamos que cuando la variable y disminuye el valor de la temperatura aumenta, esto se debe a que la función es una exponencial negativa en y .
x=-0.5:0.1:0.5; % Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; % Intervalo[0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y) % matrices del mallado
figure(1)
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-2,2,-1,3]) % región de visualización
view(2)
3 3 Divergencia
Se define la divergencia [math]\nabla T[/math] como la suma de las derivadas parciales de la función, [math]\nabla\cdot\vec T = \frac{\partial T_x}{\partial x}+ \frac{\partial T_y}{\partial y}+\frac{\partial T_z}{\partial z}[/math] Representación como campo vectorial:
>> x=-0.5:0.1:0.5; %Intervalo [-0.5,0.5]
>> y=0:0.1:2; %Intervalo [0,2]
>> [xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado
>> figure(1)
>> fy=-exp(-yy)
>> fx=0*xx
>> quiver(xx,yy,fx,fy) %visualización del campo en 2D
>> axis([-2,2,-1,3]) %región de visualización
>> view(2)4 7 Rotacional (apartado 7)
El rotacional de un campo vectorial, [math]|\nabla \times \vec U|[/math], es un campo vectorial que se define y calcula: [math] \nabla\times \vec U=\frac{1}{\sqrt{g}} \left| \begin{matrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ & & \\ U_1 & U_2 & U_3 \end{matrix}\right| [/math] En nuestro caso, el rotacional sería la siguiente expresión: [math] \nabla\times \vec U=\left| \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ U_x & U_y & U_z \end{matrix}\right| [/math] Siendo [math] U_x=0 [/math] [math] U_y=e^{-y} [/math] [math]U_z=0[/math] y por tanto el resultado del rotacional es: [math]|\nabla \times \vec U|=0[/math]
El rotacional define una circulación,por tanto, si es nulo significa que el campo vectorial no se mueve, es decir, permanece estático.
