Grupo A7. Flujo de Couette.

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette. Grupo 7-A.
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Pablo Antón García, Carlota Estepa Martínez, Patricia Rodríguez Dorta
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Flujo de Couette.

La finalidad de este trabajo es analizar el flujo de Couette, se denomina así al fluido laminar de un fluido viscoso en el espacio entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno está en movimiento relativo con respecto a otro. En nuestro caso, vamos a estudiar un fluido incompresible sometido a campos escalares: presión y termperatura, y campos vectoriales: velocidad. El plano superior se mueve con velocidad constante [math]v\vec{j}[/math]. Durante todo el artículo vamos a trabajar en el plano con coordenadas cartesianas [math](y,z)[/math].

2 Mallado del fluido.

La representación gráfica de la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [math][0,8]×[0,1][/math], y con ejes [math]y,z[/math] definidos en los intervalos [math][0,8]×[-1,2][/math], respectivamente, es la mostrada en la siguiente figura:

Superficie de trabajo. Mallado

Para ello, hemos hecho uso de Matlab, implementando el siguiente código:

x=0:0.1:8;       
y=0:0.1:1;            
[xx,yy]=meshgrid(x,y); 
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)       
axis([0,8,-1,2])     
view(2)

3 Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

La ecuación de Navier-Stokes, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} [/math]

donde, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] , [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math], [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math]

describe el movimiento de un fluido viscoso. Esta ecuacion gobierna en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Entre sus múltiples aplicaciones podemos encontar predecir el clima, las corrientes oceánicas o el flujo de agua en una tubería o en un reactor.

En este apartado, partimos de que sabemos que [math](\vec{u},p)[/math], satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, siendo [math] \vec{u} \ (y,z)=f(z)\vec{j}[/math], el campo vectorial velocidad de las partículas del fluido, [math]p(x,y,z)=p1+(p2-p1)(y-1)[/math], el campo de presión y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido. Queremos calcular la ecuación diferencial que satisfaga f(z), es decir calcular el campo de velocidades que satisface la ecuación de Navier-Stokes.

Para resolverlo, vamos a resolver por separado cada término de la ecuación.

En primer lugar tenemos:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} [/math]

sustituyendo con nuestros datos quedaría:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/math]

A continuación calculamos el siguiente término, que es el gradiente del campo de presiones,

[math]\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}[/math]

Por último, calculamos el Laplaciano,[math]\Delta\vec{u} [/math] , del campo de velocidades. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]

• Primero hacemos el cálculo de la divergergencia:

[math]\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0[/math]

Así [math]\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0[/math]

La interpretación de que [math](\nabla \cdot \vec{u})=0[/math], verifica la condición de incompresibilidad. Si [math](\nabla \cdot \vec{u})\lt0[/math] , el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial tendería a volverse más denso. Por otro lado, si [math](\nabla \cdot \vec{u})\gt0[/math], el fluido se vuelve menos denso. Finalmente, el concepto de divergencia cero es muy importante en la dinámica de fluidos y la electrodinámica. Esto indica que, aunque el fluido se mueve libremente, su densidad permanece constante. Esto es particularmente útil cuando se modelan fluidos incompresibles, como el agua.

• Ahora calculamos el rotacional:

[math]\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}[/math]

• Por último calculamos [math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)[/math]:

[math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}=-f''(z)\vec{j}[/math]

Lo que quiere decir que [math]\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}[/math].

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

[math]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}[/math]

[math] p2-p1=μ\cdot f''(z)[/math]

[math] f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} [/math]

Una vez que tenemos calculada la segunda derivada de campo vectorial de velocidades, podemos calcular lo que valdría [math]f'(z)[/math], y por consiguiente [math]f(z)[/math]. Para ello simplemente tenemos que integrar, [math]f''(z), f'(z)[/math], respectivamente. De esta forma obtenemos:

[math] f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} [/math]

[math] f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}[/math]

Suponemos que la velocidad del fluido en [math]y=0,1[/math] coincide con los planoes inferior y superior respectivamente, por lo que finalmente llegamos al campo vectorial de velocidades.

[math] f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z\cdot (z-1)}{2\cdotμ}\vec{j} [/math]