Flujo de Poiseuille (Grupo 9B)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Flujo de Poiseuille . Grupo 9-B |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2022-23 |
| Autores | Jesus Berlanga Serrano,Iñigo Castells Gómez, Javier Azañedo Guisado, Adriana Fernández Rivas |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
La Ley de Poiseuille (o de Hagen-Poiseuille) es una ecuación hemodinámica fundamental. Debido a que la longitud de las tuberías y la viscosidad son relativamente constantes, el flujo viene determinado básicamente por el gradiente de presión y por el radio. Dicha ecuación está formulada para flujos laminares de fluidos homogéneos con viscosidad constante, si la velocidad del flujo es alta o si el gradiente de presión es elevado, se pueden generar remolinos o turbulencias que modifican el patrón del flujo.
Para la creación de este artículo, se ha hecho uso de programa informático Matlab para la representación gráfica de mallados, gradientes, etc.
2 Mallado de la sección
Este mallado de dimensión 2 muestra la mitad de la sección longitudinal de la tubería, centrada en el eje OZ.
x=0:0.2:2; %Vector X.
y=0:0.2:10; %Vector Y.
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado XY.
hold on
mesh(xx,yy,0.*xx); %Representamos la tubería
axis([0,3,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Mallado de la sección');
hold off
Seleccionar para ampliar
En física, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido viscoso. En este caso, la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el campo vectorial [math]\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{ez}[/math] y su presión [math]p\left ( x,y \right )=p1+\left ( p2-p1 \right )\left ( z-1 \right )[/math], donde [math]\mu[/math] es el coeficiente de viscosidad, p1 es la presión en los puntos z = 1, p2 la presión en los puntos z = 2.
Se utilizará la ecuación de Navier-Stoker estacionaria (independiente del tiempo), ya que [math]\left ( \overrightarrow{u},p \right )[/math] satisface dicha ecuación. Se va despreciar el primer término, la parte convectiva. [math]\left ( \overrightarrow{u}\cdot \bigtriangledown \right )\cdot u +\bigtriangledown p = \mu \Delta \overrightarrow{u}[/math].
Se comprueba que [math]f\left ( \rho \right )[/math] satisface la ecuación diferencial:
[math] \frac{1}{\rho } \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \frac{\partial f(\rho )}{\partial \rho } \right ) = \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu }[/math]
Se supone previamente que la velocidad del fluido en [math] \rho =2[/math] es nula y en [math] \rho =0[/math] no se hace infinito. Multiplicando por [math] \rho [/math] e integrando dos veces se obtiene:
[math]f\left ( \rho \right )=\frac{p2-p1}{4\mu}\rho ^{2} +Cln\left (\rho \right )+K[/math]
[math]f\left (2\right )=0[/math], [math]K=\frac{p1-p2}{\mu}[/math]
[math]f\left ( 0 \right )=0[/math],
[math]C=0[/math]
Entonces se obtiene:
[math]f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ][/math]
Finalmente, se verificará que se cumple la condición de incompresibilidad (ya que el fluido siempre ocupa el mismo volumen). La divergencia del campo en un punto indica si una partícula de fluido sometida a la fuerza del campo se expande o se contrae, dependiendo del signo, o si el fluido es incompresible (siendo la divergencia cero, como es en este caso).
[math]\bigtriangledown \cdot \overrightarrow{u}=0=\frac{1}{\rho } \left\{ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho u_{\rho } \right )+ \frac{\partial }{\partial \theta }(u_{\theta })+ \frac{\partial }{\partial z}(\rho u_{z})\right\}[/math]
4 Campo de presiones y el campo de velocidades
Para este apartado las variables p1,p2 y [math]\mu[/math] tomarán los siguientes valores: [math]p1=2, p2=1 ,\mu=1[/math]
4.1 Campo de velocidades
Entonces la velocidad de las partículas del fluido viene dada por; [math]\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\left ( \frac{-1}{4 }\rho ^{2} +1\right )\overrightarrow{ez}[/math]. En el siguiente gráfico s epued eobservar como la velocidad de las párticulas del fluido es inversamente proporcional al radio de la tubería, siendo máxima en el eje de la tubería y mínima o nula en las paredes o contorno de ella (Ley de Poiseuille).
x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(-1./4).*xx.^2+1;
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,5,0,12])
xlabel('ρ');
ylabel('z');
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
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4.2 Campo de presiones
Y la presión del fluido: [math]p\left ( x,y \right )=3-z[/math],dependiente única y exclusivamente de la altura z.
5 Líneas de corriente
Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math], es decir, las líneas que son tangenes a [math]\overrightarrow{u}[/math] en cad apunto, es necesario calcular el campo [math]\overrightarrow{v}[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math]. Siendo [math]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\cdot \overrightarrow{u}[/math]. El campo [math]\overrightarrow{v}[/math] es irrotacional por ser nula la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] y ,además, tiene un potencial escalar [math]\psi [/math],([math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math]), que se conoce como función de corriende de [math]\overrightarrow{u}[/math].
[math]\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }} \rightarrow \overrightarrow{v}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].
Sustituyendo [math]f\left ( \rho \right )[/math] se obtiene:
[math]\overrightarrow{v}=\left ( \frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].
Para calcular [math]\psi [/math], obtenemos su gradiente e igualmaos al campo [math]\overrightarrow{v}[/math], [math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math].
[math]\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v}[/math]. Por ende: [math]\frac{d\psi }{d\rho }=\frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\ [/math].
Tras integrar nos queda finalmente que [math]\psi=\frac{p2-p1}{24\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\rho [/math].
En la siguiente imagen, con ayuda del programa informático Matlab, se representan las líneas [math]\psi=cte [/math]. Posteriormente se comprueba que , efectivamente, son líneas de corriente de [math]\overrightarrow{u}[/math]. Es decir, que son tangentes a dicho campo en cada punto. Siguen la dirección de [math]\overrightarrow{e_{z}}[/math] por lo que sigue el sentido de la tubería.
6 Comportamiento del módulo de la velocidad
Se observa en que puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima. En el siguiente gráfico se observa el comportamiento del módulo de la velocidad en función de [math]\rho[/math].
7 Rotacional
El rotacional de [math]\overrightarrow{u}[/math] se obtiene:
[math]\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )= \frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\ \frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\ 0 & 0 &f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}=-f'\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\theta }}[/math]
Tal que [math]f'\left ( \rho \right )=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho[/math] , entonces el rotacional quedaría: [math]\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=-\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}[/math]
x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((1./2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
view(2);
axis([0,3,0,10]);
title('Rotacional del campo');
hold off
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8 Campo de temperaturas
[math]T\left ( \rho , \theta ,z \right )= 1+ \left ( \rho -1/2 \right )^{2} \cdot e^{-\left ( z-1 \right )^{2}}[/math]
8.1 Campo
x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
hold on
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
surf(X,Y,T);
view
axis([0,3,0,10]);
colorbar
title('Campo de temperaturas')
hold off
Seleccionar para ampliar
8.2 Curvas de nivel del campo
x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
hold on
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
contour(X,Y,T,10);
axis([0,3,0,10]);
view(2);
title('Curvas de nivel de temperatura')
colorbar
hold off
Seleccionar para aumentar
9 Gradiente de la temperatura
x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure(1);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
[TX,TY]=gradient(T);
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
axis([0,3,0,10]);
title('Gradiente de temperatura');
shading flat
grid on
hold off
Seleccionar para aumentar
10 Caudal
Sea Q el caudal que atraviesa una sección de la tubería, [math]Q\left ( m/s \right )=\int_{S}^{}\overrightarrow{u}\overrightarrow{n}dS=\int_{S}^{}\left ( \frac{1}{4}\frac{p2-p1}{\mu }\rho ^{2}+\frac{p1-p2}{\mu }\rho \right )\overrightarrow{e_{z}}\cdot \overrightarrow{e_{z}} dS=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{2}\left ( \frac{1}{4}\frac{p2-p1}{\mu }\rho ^{2}+\frac{p1-p2}{\mu }\rho \right )d_{\rho }d_{\theta }=...=\frac{\Pi }{3}\left ( \frac{p2-p1}{\mu } \right )+4\Pi \frac{p1-p2}{\mu }[/math].
Tomando los siguientes valores: [math]p1=2, p2=1 ,\mu=1[/math], [math]Q=11.52\left ( m/s \right )[/math].
