Campos escalares en una placa plana

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Campos escalares en una placa plana. Grupo 2-A
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	María González García-Nieto Cristina Rubio Yanes Marta García-Moris Fontcuberta María Jiménez Estríngana
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y≥|x|, con los ejes en el cuadrado [-3,3]x[-1,3]. Representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección mencionada.

Suponemos que tenemos dos cantidades físicas definidas en nuestra sección: la temperatura T(x,y)=x²+(y-1)², y los desplazamientos, producidos por una fuerza u(ρ,θ)=ρ/20 *sin(6(θ-π/4)) e_ρ .

El vector posición de la placa antes de la deformación es: r_o(x,y)=x i +y j ,y el vector posición de la placa después de la deformación es: r_d(x,y)=r_o(x,y)+u(x,y) .

1 .-Dibujo del mallado

Dibujamos el mallado con forma de un cuarto de anillo circular, que representa los puntos interiores del sólido:

Mallado

%Limpeza de programas anteriores 
clear
clc
%Mallado interior de la placa plana
x=1:0.05:2;
y=pi/4:0.05:3/4*pi;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
%Cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=rr.*cos(tt);
My=rr.*sin(tt);
mesh(Mx,My,My*0);
%Establecemos los límites
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
%Escribimos el título 
title('MALLADO DE LA PLACA')
%Nombramos los ejes
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')

2 .-Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y punto en el que es máxima

Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura dada al principio del problema. En función de la temperatura, se puede observar una variación de colores con una gráfica. La zona más fría son los colores oscuros y la zona más caliente son los colores claros. En la gráfica, podemos encontrar el punto donde la temperatura es máxima: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

Campo de temperaturas y curvas de nivel

clear
clc
% Definimos las regiones
x=1:0.05:2;
y=pi/4:0.05:3*pi/4;
% Creamos el mallado
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
mesh(Mx,My,My*0);
% Función temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;
subplot(1,2,1)
% Aplicamos la función de la temperatura al mallado
surf(Mx,My,T);
%Establecemos el límite de los ejes
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
% Escribimos el título y ejes
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
subplot(1,2,2)
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('CURVAS DE NIVEL')
% Barra de indicación de colores
colorbar

3 .-Gradiente de la temperatura

Vamos a calcular y a representar el gradiente de la temperatura. Utilizando nuestra función de la temperatura, el gradiente es:

centro

Con la gráfica, podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. Además, sabemos que el gradiente de cualquier función es la variación máxima entre varios puntos.

Gradiente de la temperatura

clc
clear
%Definimos regiones
h = 0.1;
x=[1:h:2];   	
y=[pi/4:h:3*pi/4];
%Creamos el mallado
[rr,tt]= meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt);
My=rr.*sin(tt);
%Función temperatura
T = Mx.^2 + (My-1).^2;
contour(Mx,My,T,30);
%Gradiente de T
dx = 2*Mx;
dy = 2*(My-1);
%Título y ejes
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
%Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(Mx,My,dx,dy);
axis equal
colorbar

4 .-Campo de vectores de deslizamiento

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en la placa plana. El campo dado en el enunciado está en coordenadas cilíndricas y hacemos un cambio a coordenadas cartesianas, ya que conocemos que el vector e_ρ = cosθ i + sinθ j.

El campo de vectores de deslizamiento en coordenadas cartesianas es:

centro

Utilizaremos el comando quiver() para representar el campo de vectores.

Campo de vectores

clear
clc
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:3/4*pi;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
hold on
mx=(rr.*sin(6.*(tt-pi/4)).*cos(tt))/20;
my=(rr.*sin(6.*(tt-pi/4)).*sin(tt))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis equal
hold off

5 .-Deslizamiento del sólido

A continuación, vamos a representar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores u (en t=0). Realizaremos tres gráficas: situación inicial, situación final y comparación. En nuestro campo, podemos observar que sólo varía en la dirección del vector unitario e_ρ.

Variación del deslizamiento

clear
clc
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:3/4*pi;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL') 
%situación final
subplot(2,2,2)
mx=(rr.*sin(6.*(tt-pi/4)).*cos(tt))/20;
my=(rr.*sin(6.*(tt-pi/4)).*sin(tt))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

6 .-Divergencia del campo vectorial

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al deslizamiento. Calculamos la divergencia del campo vectorial u, y además, calculamos analíticamente los puntos en los que la divergencia de u es máxima, mínima y nula.

centro

Divergencia del campo vectorial

clear
clc
x=1:0.1:2; 
y=pi/4:0.1:3/4*pi; 
[rr,tt]=meshgrid(x,y); 
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
%representamos la divergencia 
div=(sin(6.*(tt-pi/4)))/10; 
surf(Mx,My,div);
shading flat 
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal
view(2) 
title('DIVERGENCIA')
xlabel('EJE X'); 
ylabel('EJE Y');
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp

7 .-Rotacional del campo

Rotacional del campo

Rotacional del campo

clear clc
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:3/4*pi; 
[rr,tt]=meshgrid(x,y); 
Mx=rr.*cos(tt);
My=rr.*sin(tt);
%módulo del rotacional 
rot=(cos(6.*(tt-pi/4)).*(3/10)); 
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
shading flat;
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal
view(2)
title('MÓDULO ROTACIONAL') 
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y'); 
colorbar 
shading interp

8 .-Tensor de tensiones

La placa se ve sometida a numerosas tensiones normales.En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σ_ij a través de la fórmula: σ=λ∇ * (u)1 + 2μϵ , donde:

• 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio ℝ³.
• λ, µ son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección del eje e_ρ,e_θ, y e_z.

8.1 Tensor de deformaciones y de tensiones

Calculamos el tensor de deformaciones y de tensiones:

centro

centro

8.2 Tensor de tensiones en la dirección e_ρ

left

right

%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:(3*pi)/4;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
%elemento (1,1) de la matriz tensión
s1=(sin(6.*(tt-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,s1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('TENSIONES NORMALES AL EJE E DE RO')
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
zlabel('EJE Z');
colorbar

8.3 Tensor de tensiones en la dirección e_θ

left

right

%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:(3*pi)/4;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
%elemento (1,1) de la matriz tensión
s2=(sin(6.*(tt-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,s2);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('TENSIONES NORMALES AL EJE E DE TETA')
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
zlabel('EJE Z');+
colorbar

8.4 Tensor de tensiones en la dirección e_z

left

right

%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:(3*pi)/4;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt); 
My=rr.*sin(tt);
%elemento (1,1) de la matriz tensión
s3=(sin(6.*(tt-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,s3);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('TENSIONES NORMALES AL EJE E DE Z')
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
zlabel('EJE Z');
colorbar

9 .-Tensiones tangenciales

Calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal e_ρ :

centro

En 3D

En 2D

clear
clc
%Definición de regiones
x=1:0.1:2;
y=pi/4:0.1:3*pi/4;
[rr,tt]=meshgrid(x,y);
Mx=rr.*cos(tt);
My=rr.*sin(tt);
%Tensión tangencial
tg=abs(6*cos(6*(tt-pi/4))/20);
surf(Mx,My,tg);
shading interp
axis([-3,3,-1,3]);
title('TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL')
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
zlabel('EJE Z');
colorbar