Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (13C)
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Contenido
1 Enunciado
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.
Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i[/math].
2 Influencia de campos físicos sobre el sólido elástico
2.1 Introducción al método
Un campo físico representa la distribución de una magnitud física que varía en el espacio, en otras palabras, es una aplicación que asocia a cada punto del espacio un tensor (hablamos de campos escalares y vectoriales). Normalmente relacionamos estos tensores con variables físicas (temperatura, velocidad, aceleración, etc.). A continuación se estudiará la influencia que ejercen los campos sobre el sólido elástico, capaz de recuperar su deformación (y volver al estado original) tras ser sometido a tensión.
Partimos de una placa rectangular plana cuyos puntos vienen dados por el vector de posición [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t) [/math], donde [math] \vec r_{0}(x,y)[/math] son las coordenadas del punto definidas en [math] [-0'5,0'5] \times [0,2][/math] y [math] \vec u(x,y,t) [/math] refleja el "cambio de posición" (desplazamiento). Consideramos ahora dos campos físicos aplicados a ésta:
Campo escalar temperatura: [math]T(x,y,t)[/math]
Campo vectorial desplazamiento: [math]\vec u(x,y,t)[/math]
que dependen de las variables espaciales (x,y) y el tiempo (t).
2.2 Influencia de la temperatura
Imaginemos que sobre el solido actúa un primer campo que representa la temperatura puntual y no depende del tiempo. Definimos su foco de calor con centro en el origen mediante la expresión::
[math]T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)[/math]
donde las variables ρ y θ representan las coordenadas polares.
A propósito, la razón de que definamos la temperatura en polares es que ésta disminuye linealmente con la distancia: A mayor distancia del foco menos calor.
Su representación gráfica sobre la placa viene dada por una superficie en tres dimensiones donde los tonos rojizos indican temperaturas más altas y los tonos azules temperaturas más bajas (ver figura 1).
La visualización en dos dimensiones nos permite ver de forma más clara la relación entre temperatura-distancia al foco. Es fácil comprobar que a medida que nos acercamos al foco la temperatura asciende (ver figura - NO HAY FIGURA!!)
Para obtener la dirección de máximo cambio de temperatura sobre la superficie (hacia dónde tengo que moverme para calentarme lo más rápido posible) nos valemos del gradiente, representado por un campo vectorial superpuesto a las curvas de nivel de la superficie. Se observa ortogonalidad entre vectores y curvas de nivel. Esto se debe a que la manera de recorrer un tramo sobre la superficie se realiza de la forma más corta en esa dirección, la del gradiente, que representa la mínima distancia entre dos puntos de diferente temperatura.
2.3 Influencia del desplazamiento
Sea [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i[/math] un campo vectorial que determina el desplazamiento de cada punto del mallado. Al aplicarlo sobre el conjunto representa el cambio de posición de los puntos del sólido (ver figuras 3 y 4). figura3 figura 4
2.4 ej6
La divergencia de U, definida como [math] \operatorname{div}\ \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\part}{\part x^k} \left(\sqrt{|g|} v^k \right) [/math] , refleja el incremento local de volumen del sólido (ver apartado anterior). La divergencia será máxima cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie, de este modo será mayor la divergencia de un campo que represente un sistema de fuerzas que un campo que simplemente desplace la superficie.. En nuestra placa resulta nula porque ... desarrollar.
Al aplicar un campo vectorial u que representa un desplazamiento, las partículas del solido se mueven de manera simultánea y de igual modo, lo que implica que solo haya variado la posición de las partículas del solido con respecto al origen, pero no dentro del sólido, por lo que según la definición de divergencia que implica la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen, es cero.
2.5 ej7
El rotacional de un campo vectorial representa un giro en torno a un eje. Los puntos que sufren un mayor rotacional serán aquellos en los cuales las derivadas parciales sean máximas ya que el rotacional se halla a partir del producto vectorial de las componentes del campo y los vectores de la base, siendo estas dos fijas. Estudiaremos el valor del modulo del rotacional del campo vectorial del desplazamiento a lo largo de los puntos del sólido. Se puede apreciar que tres ejes de la superficie se mantienen fijos y por ello en éstos el rotacional es cero. Los colores más claros indican una zona en el que el valor del rotacional es mayor (Figura 5).
2.6 ej8
Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé(…..). Aplicado a la placa rectangular puesto que tiene una divergencia nula, por lo explicado anteriormente, dependerá solo de Eij siendo esta la parte antisimétrica del tensor gradiente del desplazamiento. Se puede observar analíticamente que las componente de sigma son las mismas que las de E. Aplicamos i*E*i resultando cero pues es la proyección del vector E*i al solo depender de la coordenada j sobre la dirección i es 0. El resultado de aplicar j*E*j también es cero, puesto que el vector E*j solo depende de la componente i por lo que la proyección sobre el eje j es nula. Las tensiones tangenciales….. y vienen definidas por la ecuación [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|[/math] si son respecto al plano ortogonal a ii y por la ecuación [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|[/math]
2.7 ej9
respecto al plano ortogonal a i: Dado que en nuestro caso [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|[/math] es nulo las tensiones tangenciales quedan de la forma sigma*i originando la siguiente gráfica: Donde podemos observar que son mayores en y=0, y=1, y=2 y menores en y=0,5, y=1,5. Comparando estos resultados con las figuras verdes que representan la deformación de los puntos apreciamos mayor deformación en zonas donde las tensiones tangenciales son menores.
2.8 ej10
respecto al plano ortogonal a j: Dado que en nuestro caso [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|[/math] es nulo las tensiones tangenciales quedan de la forma sigma*j originando la siguiente gráfica: Podemos observar que son mayores en y=0, y=1, y=2 y menores en y=0,5, y=1,5. Comparando estos resultados con las figuras verdes que representan la deformación de los puntos, donde apreciamos menores tensiones tangenciales coinciden con puntos con mayor deformación.
