Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Pablo Díaz Paz-Albo Gonzalo de la Flor Fernández Jeremy García Herrera Juan Carlos Santos Expósito Emilio Villegas Maroto
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

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1 CAMPO DE VELOCIDADES

Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]

1.1 CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]

donde:

[math] \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=2\rho(\rho-2)\vec{e_z} [/math] [math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 [/math] [math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 [/math]

Si igualamos a 0, [math] 2\rho(\rho-2)=0[/math] obtenemos que los puntos donde se produce la máxima velocidad son [math] \rho =0 \ {y} \ \rho = 2 [/math]

2 ROTACIONAL

Para la realización del cálculo del rotacional del campo, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo en la fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & -(\frac{\rho^3}{3}-\frac{\rho^2}{2})\frac{\cdot(p_1-p_2)}{μ} \end{vmatrix}[/math]

Obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{4\rho^2}{3}-\frac{3\rho}{2})\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}[/math], y dando los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Tenemos que [math]\nabla\times\vec u=(\frac{8\rho^2}{3}-3\rho)\vec{e_\theta}[/math]

3 CAMPO DE TEMPERATURAS

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:

[math] T(ρ{,}θ{,}z)=1+(ρ-1/2)^2 e^{-(z-1)^2}[/math]

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:

[math]x=ρcosθ[/math]

[math]y=ρsenθ[/math]

Pero como nosotros estamos en los ejes [math]\{\vec{j} {,} \vec{k} \}[/math], usaremos:

[math]y=ρcosθ[/math]

[math]z=ρsenθ[/math]

Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:

[math] T(y{,}z)=1+(y^2+z^2-1/2) e^{-(z-1)}[/math]

REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión [math] T(y{,}z)=1+(y^2+z^2-1/2) e^{-((z-1)^2)}[/math], por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales [math](y{,}z)[/math]

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:

y=0:0.05:8;
 z=-2:0.05:10;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z);
 figure (1) 
 p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
 pcolor(Y,Z,p);
 shading flat
 grid on
 axis([0,8,-1,10]);
colorbar 
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k'); 
grid on
axis([0,8,-1,10]);

INTERPRETACIÓN

En el gráfico se puede observar que la temperatura es mayor cuándo se representa con colores cálidos, esto sucede en los valores próximos a [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math].

REPRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL

El código utilizado para la representación de este gráfico se incluyó con el de la representación del campo de temperaturas.

INTERPRETACIÓN

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos [math]z=1[/math] y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciónes anteriores permite determinar que en el punto [math](y,z)= (8,1)[/math] la temperatura es máxima.

3.1 GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente [math]\nabla T[/math], en nuestro caso:

[math]\nabla T(y,z)=[/math]

Como observación, el gradiente analíticamente se calcula como [math]\frac{\partial T(y,z)}{\partial y}[/math] siendo ésta la compontente [math]\vec{j}[/math] del campo vectorial gradiente y [math]\frac{\partial T(y,z)}{\partial z }[/math] la componente [math]\vec{k}[/math].

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código: {{Matlab|codigo=

4 CAUDAL

El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}[/math]

donde [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math],

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:

[math]\rho= 15 [/math]

[math]\theta=u[/math][math][0,2\pi][/math]

[math]z=v [/math] [math][0,\inf][/math]

Por lo que:

[math]ru=(0,1,0)[/math]

[math]rv=(0,0,1)[/math]

[math]|ru\times rv|=(1,0,0)[/math]

CÁLCULO DEL CAUDAL

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}\vec{u}(\rho,\theta,z)\cdot |\vec{e_\theta}\times \vec{e_z}|du dv=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}(\vec{e_\rho})=0\frac{m^3}{s}[/math]