Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2022-23 |
| Autores | Julian Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas. En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos. Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo [math](x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] [/math].
2 Mallado
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes [math](x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] [/math].
rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);
[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla
hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
3 Función potencial
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.
Un campo escalar, definido en un dominio determinado [math] D \subset \mathbb{R}^{3} [/math] , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio [math] D \subset \mathbb{R}^{3} [/math] es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.
Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta [math] \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) [/math] . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);
[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla
hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);
f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
4 Campo de velocidades
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: [math] \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta [/math]
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);
[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
4.1 Interpretación
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de [math] \varphi [/math] . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, [math]\vec{u}\cdot \vec{n}=0 [/math]. Esto implica que son ortogonales entre sí.
Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería [math]-\vec e_\rho [/math].
Evaluando el gradiente en [math]\rho = 1[/math], y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:
[math]-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 [/math]
Evaluando [math] \vec u [/math] en la frontera del obstáculo sale:
[math]\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta [/math]
4.2 Campo de velocidades lejos del obstáculo
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, [math]\rho [/math] es muy grande, y podemos suponer que [math] \frac{1}{\rho } [/math] es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:
[math] \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta [/math] , habiendo despreciado [math] \frac{1}{\rho } [/math].
Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar [math] \frac{1}{\rho} [/math]
[math] \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= [/math]
[math]=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =[/math]
[math] =\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta [/math]
4.3 Rotacional y divergencia
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.
El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.
[math]\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \vec{e_\rho } &\vec{e_\theta } &\vec{e_z} \\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\ \cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0 \end{vmatrix}=[/math]
[math]=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec{e_z} -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec{e_z}\right ]=[/math]
[math]=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec{e_z}+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec{e_z}\right ]=\mathbf{0} [/math]
[math] [/math]
