Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Pablo Díaz Paz-Albo Gonzalo de la Flor Fernández Jeremy García Herrera Juan Carlos Santos Expósito Emilio Villegas Maroto
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

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1 CAMPO DE VELOCIDADES

Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{\rho^3}{6}-\frac{\rho^2}{4})\vec{e_z}[/math]

1.1 CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{\rho^3}{6}-\frac{\rho^2}{4})\vec{e_z}[/math]

donde:

[math] \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=\frac{\rho-\rho^2}{2}\vec{e_z} [/math] [math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 [/math] [math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 [/math]

Si igualamos a 0, [math]\frac{\rho-\rho^2}{2}=0[/math] obtenemos que los puntos donde se produce la máxima velocidad son [math] \rho =0 \ {y} \ \rho = 1 [/math]

2 ROTACIONAL

Para la realización del cálculo del rotacional del campo, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \vec{e\theta} & \vec{z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \frac{1}{\rho} u_\theta & u_z \end{vmatrix}[/math]

3 CAUDAL

El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}[/math]

donde [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

[math]\vec{u}(ro,teta)=-ro\vec{ez}[/math],

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:

[math]x= [/math] [math]y[/math]

[math]y=x[/math]

[math]z= [/math] [math]x[/math]

Por lo que:

[math]ru=(x,x,x)[/math]

[math]rv=(x,x,x)[/math]

[math]|ru\times rv|=(x,x,x)[/math]

CÁLCULO DEL CAUDAL

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{0}^{0} \int_{0}^{2} \frac{-ro}{1}drodz=-2\frac{m^3}{s}[/math]