Observación de campos escalares y vectoriales en elasticidad

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Observación de campos escalares y vectoriales en elasticidad
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Daniel Casas Pablo Moreno Alberto Muñoz Alberto Núñez Juan Utrilla
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math](x, y) ∈ [0, 10]×[0, 2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x, y)[/math], que viene dada por,

[math]T(x, y) = (x − 3)2 + (10(y − 1/2))2[/math]

y los desplazamientos [math]\vec{u}(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math]\vec{r_{0}}(x, y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por

[math]\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).[/math]

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

[math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k(\vec{d}·\vec{r}-vt)),[/math]

donde [math]\vec{a}[/math] se conoce como amplitud, [math]k \gt 0[/math] es el número de onda, [math]\vec{d}[/math] es un vector unitario que marca la dirección de propagación y [math]v[/math] es la velocidad de propagación. La variable [math]t[/math] representa el tiempo que congelaremos en [math]t = 0[/math] en los primeros 10 apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,

[math]\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k(\vec{d}·\vec{r})).[/math]

Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

[math]\vec{a}=2/5\vec{j}, k=1, \vec{d}=\vec{i}[/math]

1 Representación placa rectangular

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo [math](x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5][/math] y como paso de muestreo [math]h = 2/10[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math]. Comenzamos el programa utilizando los programas de limpieza para borrar todos los anteriores. Creamos el paso de muestreo [math]h[/math] y definimos los parámetros de la placa [math]x[/math] e [math]y[/math]. Creamos el mallado con el comando meshgrid() y, a continuación, dibujamos el mallado con mesh() habiendo definido ya las matrices [math]X, Y, Z[/math] (siendo esta última 0). Finalmente, ajustamos los ejes a los límites establecidos, los nombramos y ponemos un título al gráfico.

Mallado

clc
clear
%Definimos las regiones
h=2/10; 
x=[0:h:10];       
y=[0:h:2];
%Creamos el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y); 
mesh(X,Y,0*Y)
%Establecemos los límites
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
%Escribimos el título y nombramos los ejes
title('Mallado');
xlabel('X');
ylabel('Y');

view(2);

2 Curvas de nivel de la temperatura y punto en el que es máxima

Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando contour) y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica. Repetimos el proceso anterior para definir las matrices [math]X[/math] e [math]Y[/math], y definimos la función dada de la temperatura [math]T[/math] en función de esos parámetros. Representamos la gráfica mediante el comando [math]mesh()[/math] con los parámetros [math]X[/math], [math]Y[/math] y [math]T[/math], y utilizamos [math]contour()[/math] para representar las curvas de nivel que queramos. De nuevo ajustaremos los ejes y les pondremos nombre, incluyendo además una barra de color a un lado del gráfico que facilite la visualización de este, usando [math]colorbar[/math]. Observando el gráfico podemos decir que la temperatura máxima es 274ºC (x=10; y=2).

Mallado

clc
clear
%Definimos regiones
h = 2/10;
x=[0:h:10];          
y=[0:h:2];
%Creamos el mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Función temperatura
T = (X-3).^2 + (10*(Y-1/2)).^2;
%Escribimos el título y ejes
title('Curvas de nivel de temperatura');
xlabel('X');
ylabel('Y');
%Establecemos el límite de los ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
%Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,T);
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,50);
colorbar

3 Gradiente de la temperatura

Calcular [math]∇T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que [math]∇T[/math] es ortogonal a dichas curvas.

4 Campo de vectores

Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en [math]t=0[/math].

5 Desplazamiento del sólido

Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores [math]\vec{u}[/math] (en [math]t=0[/math]). Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.

6 Divergencia del campo vectorial

Dibujar [math]∇·\vec{u}[/math] en [math]t=0[/math]. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de [math]\vec{u}[/math] es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

7 Rotacional del sólido

Calcular [math]|∇ × \vec{u}|[/math] en todos los puntos del sólido en [math]t = 0[/math] y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

8 Tensor de tensiones

Definamos [math]ϵ(\vec{u}) = (∇\vec{y} + ∇\vec{u}^t)/2[/math], la parte simétrica del tensor gradiente de [math]\vec{u}[/math] conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones [math]σij[/math] a través de la fórmula [math]σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µϵ[/math],

donde [math]1[/math] es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio [math]R^3[/math] y [math]λ[/math], [math]µ[/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir [math]\vec{u}[/math] no tiene componente en la dirección de [math]\vec{k}[/math]) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando [math]λ = µ = 1[/math], dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec{i}[/math], es decir [math]\vec{i}· σ ·\vec{i}[/math], las tensiones normales en la dirección que marca el eje [math]\vec{j}[/math], es decir [math]\vec{j} · σ · \vec{j}[/math] y las correspondientes al eje [math]\vec{k}[/math], es decir [math]\vec{k}· σ · \vec{k}[/math] (dibujar las que no son nulas).

9 Tensiones tangenciales

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math], es decir [math]|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|[/math], en [math]t = 0[/math]. Dibujar sólo las que no son nulas.

10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises se define por la fórmula

[math]σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}[/math]

donde [math]σ_{1}[/math], [math]σ_{2}[/math] y [math]σ_{3}[/math] son los autovalores de [math]σ[/math] (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

11 Campo de fuerzas que actúa sobre la placa

El campo de fuerzas [math]\vec{F}[/math] que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

[math]\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ[/math]

donde [math]∇ · σ[/math] es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz [math]σ[/math]. Calcular la velocidad de propagaci´on de las ondas [math]v[/math] en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que [math]\vec{F} = 0[/math]. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando [math]\vec{a} = 2/5\vec{i}[/math], ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

12 Módulo del desplazamiento vertical

Fijado ahora el punto [math](1/2, 1)[/math], calcular el módulo del desplazamiento vertical (dirección [math]\vec{j}[/math]) a lo largo del tiempo en el intervalo [math]t ∈ [0, 10][/math]