Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
Asignatura
Curso	2021/22
Autores	Jaime Guerrero Suárez Sergio Míguez González Pedro Michelini
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.

1 Enunciado

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por [math]T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)[/math], y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\). Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos [math]\vec u(ρ, θ) = ρ − 1 5 sin(θ)~eθ[/math].

2 Mallado

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

h= 0.1;                           %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt);       %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);                                                        
mesh(x,y,0.*x)                  %Visualización de la placa
view(2)                           
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

[[Archivo:]]

3 Representación de la temperatura

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función [math]T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)[/math]. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.

h= 0.1;                           %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt);       %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);  
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1)                %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T)                   %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar                      %Mostramos la escala
subplot(1,2,2)                %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16)      %Líneas de nivel
colorbar                      %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

[[Archivo:]]

4 Gradiente de Temperatura

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en

• 

  Fórmula del gradiente de una función

En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da [math]\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\[/math]. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.

[[Archivo:]]

5 Representación del campo vectorial de deformaciones

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de e_θ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia [math]e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\[/math].

El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: [math]\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\ {{matlab|codigo= h= 0.1; %Paso de muestreo rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares. tt= 0:h:pi; [RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT); axis ([-3,3,-1,3]) a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2); b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT)); w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores axis ([-3,3,-1,3]) title('Campo de vectores','Fontsize',16); xlabel('Eje X') ylabel('Eje Y') set(w,'maxheadsize',0.33) }} [[Archivo]] =Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial= Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u: {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Divergencia del campo vectorial= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Rotacional del campo vectorial= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Tensiones normales a los ejes coordenados= =Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Tensión de Von Mises= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] [[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC21/22]][/math]