Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A |
| Asignatura | |
| Curso | 2021/22 |
| Autores | Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González Pedro Michelini |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura. |
Contenido
1 Enunciado
Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por [math]T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)[/math], y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\). Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos [math]u(ρ, θ) = ρ − 1 5 sin(θ)~eθ[/math].
2 Mallado
Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.
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3 Representación de la temperatura
Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función [math]T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)[/math]. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
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4 Gradiente de Temperatura
El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
Fórmula del gradiente de una función
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da [math]\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\(\vec i\)[/math]. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
5 Representación del campo vectorial de deformaciones
Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia [math]e\ltsub\gtθ\lt/sub\gt=\frac{-x\ltsub\gt2\lt/sub\gt\(\vec i\)+x\ltsub\gt1\lt/sub\gt\(\vec j\)}{ρ}=-sin(θ)\(\vec i\)+cos(θ)\(\vec j\)[/math].
El nuevo campo u nos queda de la siguiente forma: [math]\(\vec u\)=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\(\vec i\)+\frac{ρ-1}{5}cos\ltsup\gt2\lt/sup\gt(θ)\(\vec j\) {{matlab|codigo= }} [[Archivo]] =Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior= Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u: {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Divergencia del campo vectorial= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Rotacional del campo vectorial= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Tensiones normales a los ejes coordenados= =Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Tensión de Von Mises= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] =Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa= {{matlab|codigo= }} [[Archivo:]] [[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC21/22]][/math]
