Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
Asignatura
Curso	2021/22
Autores	Jaime Guerrero Suárez Sergio Míguez González Pedro Michelini
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.

1 Enunciado

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por [math]T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)[/math], y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\). Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos [math]u(ρ, θ) = ρ − 1 5 sin(θ)~eθ[/math].

2 Mallado

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

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3 Representación de la temperatura

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función [math]T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)[/math]. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.

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4 Gradiente de Temperatura

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en un vector formado por las derivadas parciales

Archivo

5 Representación del campo vectorial

Ahora consideramos un campo vectorial definido como \(\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i\), que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(sin(pi.*Y))./10;
fy=Y.*0;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)

Campo vectorial en el sólido

5.1 Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento horizontal, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OX, es decir, solo tiene componente \(\vec i\). Además, también dependerá de una única coordenada: y. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:2;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC+(sin(pi*Y))/10;
Y=YC;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,1.5,-1,3])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X)
axis([-1.5,1.5,-1,3])
view(2)

Sólido antes y después del desplazamiento

5.2 Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). Como el campo vectorial solo depende de la componente \(\vec i\) y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de \(\vec i\), teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=sin(pi.*Y)./10;
v=0.*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)

Divergencia del campo vectorial

5.3 Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del rotacional
Rot=abs((pi.*cos(pi.*Y))./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
colorbar

Rotacional del campo vectorial

5.4 Tensiones normales a los ejes coordenados

Partiendo de un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, tenemos que el tensor de tensiones sobre el sólido elástico depende de los coeficientes de Lamé (\(\lambda\) y \(\mu\)):

\( \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij} \)

Para el cálculo de las tensiones vamos a tomar como valor de éstos coeficientes 1.

Las tensiones normales se calculan con la formula anterior. La divergencia del campo vectorial (hallada en el apartado 2.6) es cero, y como los coeficientes de Lamé son iguales a 1, la tensión normal es \( \sigma_{ij}=2*\epsilon_{ij} \), donde \(\epsilon_{ij} \) es la parte simétrica del tensor gradiente de \(\vec u\).

Así, tenemos que la tensión normal al eje \(\vec i\) nos queda \(\vec i\)*\(\sigma\)*\(\vec i\), que es la proyección de \(\sigma\)*\(\vec i\) (que depende solo de \(\vec j\)) sobre \(\vec i\), dando como resultado cero.

Para la tensión normal al eje \(\vec j\), ocurre lo mismo, siendo \(\vec j\)*\(\sigma\)*\(\vec j\) la proyección de \(\sigma\)*\(\vec j\) (que depende solo de \(\vec i\)) sobre \(\vec j\), dando también cero.

5.5 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])

Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i

5.6 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(pi*cos(pi.*Y))./10;
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)

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