Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
Asignatura
Curso	2021/22
Autores	Jaime Guerrero Suárez Sergio Míguez González Pedro Michelini
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.

1 Enunciado

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por \(T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\). Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos \(u(ρ, θ) = ρ − 1 5 sin(θ)~eθ\).

2 Representación de la placa

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables x e y. El cógido y la gráfica son:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis([-1.5,1.5,-1,3])
view(2)

Mallado del sólido elástico

2.1 Representación de la temperatura

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función \(T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)\), en coordenadas polares.

Para la resolución de este apartado hemos utilizado la función en coordenadas cartesianas, haciendo el cambio [math] \rho^2 = x^2 + y^2 [/math]. Así, obtenemos que la función es

[math] T(x,y)=-\log(\sqrt{x^2+y^2}+0.1)[/math]

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función de la temperatura
f=-log(0.1+sqrt(X.^2+Y.^2));
%Dibujo de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,f)
axis([-0.5,0.5,-0,2])
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,f)

Distribución de temperaturas en el sólido

2.2 Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Formula de temperatura y sus derivadas parciales
f=inline('-log(0.1+sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
fx=inline('-x./(0.1.*sqrt(x.^2+y.^2)+x.^2+y.^2)','x','y');
fy=inline('-y./(0.1.*sqrt(x.^2+y.^2)+x.^2+y.^2)','x','y');
%Mallado para las curvas de nivel
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=f(X,Y);
%Intervalos para las flechas
xx=-0.5:0.1:0.5;
yy=0:0.1:2;
%Mallado para las flechas
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
%Componentes del gradiente
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
%Dibujo del gradiente con las curvas de nivel
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T);
hold on
%Gradiente
quiver(XX,YY,U,V)

Curvas de nivel y gradiente de la temperatura

2.3 Representación del campo vectorial

Ahora consideramos un campo vectorial definido como \(\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i\), que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(sin(pi.*Y))./10;
fy=Y.*0;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)

Campo vectorial en el sólido

2.4 Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento horizontal, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OX, es decir, solo tiene componente \(\vec i\). Además, también dependerá de una única coordenada: y. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:2;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC+(sin(pi*Y))/10;
Y=YC;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,1.5,-1,3])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X)
axis([-1.5,1.5,-1,3])
view(2)

Sólido antes y después del desplazamiento

2.5 Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). Como el campo vectorial solo depende de la componente \(\vec i\) y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de \(\vec i\), teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=sin(pi.*Y)./10;
v=0.*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)

Divergencia del campo vectorial

2.6 Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del rotacional
Rot=abs((pi.*cos(pi.*Y))./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
colorbar

Rotacional del campo vectorial

2.7 Tensiones normales a los ejes coordenados

Partiendo de un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, tenemos que el tensor de tensiones sobre el sólido elástico depende de los coeficientes de Lamé (\(\lambda\) y \(\mu\)):

\( \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij} \)

Para el cálculo de las tensiones vamos a tomar como valor de éstos coeficientes 1.

Las tensiones normales se calculan con la formula anterior. La divergencia del campo vectorial (hallada en el apartado 2.6) es cero, y como los coeficientes de Lamé son iguales a 1, la tensión normal es \( \sigma_{ij}=2*\epsilon_{ij} \), donde \(\epsilon_{ij} \) es la parte simétrica del tensor gradiente de \(\vec u\).

Así, tenemos que la tensión normal al eje \(\vec i\) nos queda \(\vec i\)*\(\sigma\)*\(\vec i\), que es la proyección de \(\sigma\)*\(\vec i\) (que depende solo de \(\vec j\)) sobre \(\vec i\), dando como resultado cero.

Para la tensión normal al eje \(\vec j\), ocurre lo mismo, siendo \(\vec j\)*\(\sigma\)*\(\vec j\) la proyección de \(\sigma\)*\(\vec j\) (que depende solo de \(\vec i\)) sobre \(\vec j\), dando también cero.

2.8 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])

Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i

2.9 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(pi*cos(pi.*Y))./10;
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)

Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j