Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19
En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:
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Contenido
1 Introducción
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
2 Región ocupada por un fluido
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.
x=u*cos(v)
y=u*sin(v)
El código para esta representación es:
3 Campo de velocidades de un fluido
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:
Y conociendo
obtenemos;
Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)
Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido
Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ
4 Gradiente ortogonal a superficies de nivel
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares. u es el vector gradiente y n es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel. Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ∇f(ρ,θ,z) es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie. Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: 'f(ρ,θ,z)= K y c(t) la parametrización de una curva. Se cumple que:
f(c(t))=K ∀t
puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie. Siderivamos la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:
Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva c, es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
5 Caso particular
Nos dicen que ρ es muy grande, y que por lo tanto, 1/ρ≈0. En este caso, u tendrá el siguiente valor:
