Modelos epidemiológicos
1 1. Exposición del sistema:
En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos de individuos: los que ya han contraído la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hipótesis:
1. La poblaciónde personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas.En ambos casos, la tasa de cambio depende del número de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) población de individuos susceptibles a contraer la enfermedad, I(t) población de individuos infectados; y el sistema:
[math] dS/dt=-aSI;
dI/dt=aSI-bI-cI [/math]
Donde: a, b y c son parámetros.
2 2. Definición de las variables:
1. ’’Interpretar los diferentes parámetros en la ecuación de acuerdo a las hipótesis. ’’
| VARIABLE | DEFINICIÓN | RELACIÓN |
|---|---|---|
| a | Número de interacciones entre personas infectadas y susceptibles a contraer la enfermedad | Indistintamente número de infectados que mueren y/o se curan |
| b y c |
Si aumenta el número de interacciones aumentarán los contagios y por ello la población susceptible a contraer la enfermedad a↑↑ I ↑↑ a↑↑ S↓↓ |
El número de individuos que perecen infectados así como el que supera la enfermedad lógicamente disminuye el número de infectados pero no afecta directamente a los susceptibles b↑↑ I↓↓ S=cte
|
Nota:aunque S no depende directamente de b ni de c si depende indirectamente pues está ligado a I que si que tiene relación con ellos
3 3. Estudio de poblaciones concretas mediante el método de Euler:
2. Tomar a = 0:003, b = 0:3 y c = 0:2. Usar el método de Euler para resolver el sistema con los datos iniciales (S0; I0) = (700; 1) and (S0; I0) = (5000; 5), y el tiempo t:[0; 30] días. Tomar como paso de discretización temporal h = 10^-1; 10^-2; 10^-3; 10^-4.
3. Elegir otros datos iniciales (S0; I0) e interpretar los resultados.
S0=700 I0=1
%%Establecemos valores de los parametros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.2;
t0=0;
tN=30;
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;
%%Damos la primera componente a s
s0=700;
s(1)=s0;
%%Damos la primera componente a i
i0=1;
i(1)=i0;
n=1:N
s(n+1)=s(n)-h*a*s(n)*i(n);
i(n+1)=i(n)+h*(a*s(n)*i(n)-(b+c)*i(n));
for
end
hold on
x=t0:h:tN;
plot(x,s,'x b')
