Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

1 Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra. Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

[math]\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} [/math]
[math]\nabla \cdot \vec{u}=0 [/math]

2 Campos de velocidades, presiones y temperatura

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1] El codigo matlab para realizarlo es el siguiente

x=0:0.1:4;    %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);     %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0) 
axis([0,4,-1,2])  %Definimos los ejes

Mallado de puntos

%Dibujo del campo
x=0:0.1:4;    %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);   
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])

Sólido antes y después de desplazarse

Tomando [math] p_{1}=2[/math], [math] p_{2}=1[/math] y [math] \mu=1[/math] los campos de presiones y velocidades que resultan:

%Dibujo del campo
x=0:0.1:4;    %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);   
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])

Campo de presiones

Campo de presiones proyectado sobre z=0

Campo de velocidades

3 Líneas de corriente

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales. En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja. Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

[math] \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}[/math]

Considerando

[math]\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}[/math]
[math](x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}[/math]

[math]\existsΨ: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}[/math]
[math]\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)[/math]

[math] \left . \begin{matrix} \frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\ \frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y) \end{matrix} \right \}[/math]

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

[math]Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C[/math]

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

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