Trabajo grupo 4

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante [math]x,y\ge 0\ltmath /\gt. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura \ltmath\gtT(x,y)\ltmath /\gt y los desplazamientos \ltmath\gt\overrightarrow { u } (x,y)\ltmath /\gt. 

==  Introducción  ==

==  Mallado de la placa  ==
\ltbr /\gt
    Con lo definido anteriormente podremos dibujar con ayuda del programa Matlab el mallado que represente los puntos interiores del sólido, consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como se puede observar en el mallado se puede notar que el aro no está completamente cerrado en la coordenada \ltmath\gt\theta =\pi \ltmath /\gt. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, este será mayor que \ltmath\gt\theta \ltmath /\gt por lo que se omite.

(colocar el código y figura del apartado 1)

==  Temperatura ==
    Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación será \ltmath\gtT(x,y)=log(y+2)\ltmath /\gt que podemos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido.

(código de la temperatura y figura 2)

    Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

    Recordamos la fórmula general del cálculo de \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt en coordenadas cartesianas
\ltmath\gt\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } \ltmath /\gt

    Particularizándolo a nuestra temperatura \ltmath\gtT(x,y)=log(y+2)\ltmath /\gt, obtenemos: 
\ltmath\gt\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \ltmath /\gt
\ltmath\gt\nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \ltmath /\gt

==  Campo de Desplazamiento ==
    Queremos considerar un campo de desplazamiento \ltmath\gt\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho  \right) { \overrightarrow { g }  }_{ \theta  }\ltmath /\gt con las siguientes características: 
:*Los puntos situados en \ltmath\gt\rho =1\ltmath /\gt no sufren desplazamiento.
:*El \ltmath\gt\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g }  }_{ z }\ltmath /\gt.
\ltbr /\gt

    Para poder calcular el campo de desplazamiento \ltmath\gt\overrightarrow { u } \ltmath /\gt debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas:
\ltmath\gt\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho  } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g }  }_{ \rho  } & { \overrightarrow { g }  }_{ \theta  } & { \overrightarrow { g }  }_{ z } \\ \partial \rho  & \partial \theta  & \partial z \\ { \overrightarrow { u }  }_{ \rho  } & { \overrightarrow { u }  }_{ \theta  } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad \ltmath /\gt

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