CARGA CRÍTICA DE UNA COLUMNA
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | CARGA CRÍTICA DE UNA COLUMNA (Grupo-1) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | |
| Autores |
Javier Marrero Patrón Tejanni El Bannoudi Guanxiong Chen Fernando Díaz-Roncero González |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 INTRODUCCIÓN
En el análisis de la Mecánica Estructural es fundamental el estudio del equilibrio de un sólido. El presente trabajo está orientado a describir cualitativamente y cuantitativamente la inestabilidad elástica. Particularizando en el caso de una pieza homogénea de sección transversal circular sometida a compresión centrada. De esta forma se plantea un acercamiento aproximado a los fenómenos de pandeo (flexión lateral) que producen fallos frágiles en elementos esbeltos. Los aspectos anteriormente mencionados tienen múltiples aplicaciones en el Cálculo de Estructuras, debido a que la aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de estabilidad del elemento produce el colapso.
2 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Para poder hacer un modelo matemático del comportamiento de la columna, se tiene que considerar un pieza ideal, es decir, la rigidez a flexión (EI) tiene que ser constante a lo largo de la columna, y también es indispensable considerar el comportamiento elástico de esta, entre otra características.
Teniendo en cuanta las propiedades del material (E), de la sección (I), y curvatura que sufre la columna al ser sometido a una acción, se define la ecuación de la curva elástica, que nos permite analizar la manera con la que se deforma la pieza.
A continuación se ha estudiado un columna sometido a una carga P constante, de longitud L y suponiendo el comportamiento de la columna como una pieza ideal. En la imagen se puede observar el comportamiento general de la columna al esta sometida a la carga critica.
METER IMAGEN
Para estudiar el comportamiento de la columna, se planteará un problema de contorno Partiendo de la ecuación de la curva elástica aplicada a la columna:
\begin{matrix} y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \end{matrix}
Siendo:
· [math]E[/math]: Módulo de elasticidad ó de Young.
· [math]I(x)[/math]: Momento de inercia de una sección trasversal de la columna respecto al eje "z".
· [math]M(x)[/math]: Momento flector.
En el caso de la columna, el momento flector depende de la deflexión, de manera que: [math]M(x)=-Py(x)[/math].
Por tanto, sustituyendo la fórmula del momento flector en la ecuación inicial: \[\begin{array}{crl}
\\
y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\
\\
\end{array}\]
Es necesario determinar las condiciones de contorno para particularizar este problema: [math] \left\{\begin{matrix} y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math] ya que en los extremo de la viga: [math]x=0[/math] y [math]x=L[/math] tiene deflexión cero.
Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería:
[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]
Siendo:
· [math]y[/math]: El desplazamiento de la columna según el eje "y".
· [math]y''(x)[/math]: Es la curvatura que adopta la columna al pandear.
3 Estudio de la estabilidad de la columna
A continuación se va a estudiar la estabilidad de la columna. Se considera que la columna es estable, si la única solución del problema de contorno es la solución trivial ([math]y(x)=0[/math]), esto se va a resolver tanto de forma numérico (haciendo uso de Matlab), y de forma analítica:
Para calcular la carga que hace pandear la columna debemos resolver la problema de contorno planteado anteriormente:
(Nota: para facilitar los cálculos, consideramos que: [math]y(x)=y[/math], [math]I(x)=I[/math]).
Por tanto, el problema quedaría
\[\begin{array}{crl}
\\
E Iy+Py=0 \\
\\
\end{array}\]
Resolución:
\[\begin{array}{crl}
\\
E Iy+Py=0 \Longrightarrow E Im^2+P=0 \Longrightarrow r^2=\frac{-P}{E I}=0 \Longrightarrow m=\; \pm\;\sqrt{\frac{P}{E I}} i \\
\\
\end{array}\] La solución general de la ecuación diferencial homogénea será \[\begin{array}{crl}
\\
y\;= y(x)\; =\; A\; cos\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) + \; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) = 0\\
\\
\end{array}\]
Teniendo en cuenta las condiciones de contorno iniciales [math]y(0)=0[/math] y [math]y(L)=0[/math] y que, por definición, se dice que una columna es estable si la única solución posible de la función elástica [math]y(x)[/math] es la trivial, [math]y(x)=0[/math], sustituimos dichos valores en la solución general obtenida.
Para [math]y(0)=0[/math] \[\begin{array}{crl}
\\
y(0)\; =\; A\; cos\; (0) + \; B\; sin\; (0) = 0 \Longrightarrow y(0)\; =\; A\; 1 + \; B\; 0 = 0\\
\\
\end{array}\]
Sabiendo que la solución de [math]y(0)[/math] tiene que ser 0, se llega a la conclusión de que, para que se cumpla la ecuación, tiene que ocurrir que [math]A=0[/math] necesariamente.
Por otro lado, para [math]y(L)=0[/math] \[\begin{array}{crl}
\\
y(L)\; =\; 0\; cos\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) + \; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0 \Longrightarrow y(L)\; =\; 0\ + \; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0\\
\\
\end{array}\]
Como se puede comprobar, [math]y(L)=0[/math], implica que [math]\; B\; sin\; \left(\sqrt{\frac{PL^2}{E I}}\right) = 0[/math]. Si [math]B=0[/math], se tiene [math]y=0[/math], pero, si [math]B ?0[/math], entonces [math]sin\; \left(\sqrt{\frac{P}{E I}} x\right) = 0[/math]. La última condición indica que, para que la igualdad planteada se cumpla, el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de p. \[\begin{array}{crl}
\\
\sqrt{\frac{P}{E I}} L= np \Longrightarrow {\frac{P}{E I}}= {\frac{n^2p^2}{L^2}} \\
\\
\end{array}\] Por lo tanto, para todo real B distinto de cero, es una solución del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, y ya hemos supuesto que [math]sin\; (\frac{npx}{L})= 0[/math], no necesitamos escribir B si así lo deseamos, por lo que la ecuación nos quedaría \[\begin{array}{crl}
\\
y = sin\; \left(\frac{npx}{L}\right) \\
\\
\end{array}\]
Volviendo a la ecuación anteriormente obtenida, buscamos hallar el valor de P donde la columna se desvía. Esto sólo ocurre cuando la fuerza de compresión toma algunos de los valores de dicha ecuación. Esas fuerzas se llaman cargas críticas, que corresponden a la ecuación
\[\begin{array}{crl}
\\
\sqrt{\frac{P}{E I}} L= np \Longrightarrow {\frac{P}{E I}}= {\frac{n^2p^2}{L^2}} \Longrightarrow P_{cr}\; = {\frac{n^2p^2EI}{L^2}} \\
\\
\end{array}\] Suponemos, según los datos proporcionados, que el módulo de elasticidad de Young es [math]E=1[/math], que la sección de la columna circular es de radio constante [math]R=1\ m[/math], que su densidad es [math]\rho=1\ Kg/m^3[/math], que la longitud total de la columna es [math]L=10\ m.[/math] y que el momento de inercia de una sección circular trasversal respecto a una recta vertical por el centro es [math]I = {\frac{pr^4}{2}}[/math]. Por tanto, la nueva ecuación de [math]P_{cr}[/math] quedaría expresada así \[\begin{array}{crl}
\\
P_{cr}\; = {\frac{n^2p^3r^4}{2L^2}} \\
\\
\end{array}\]
El número natural n representa el número de apoyos fijos que posee la columna, por lo que en nuestro caso [math]n=1[/math]. Según este último dato, sustituyéndolo en las ecuaciones anteriormente halladas,obtenemos que \[\begin{array}{crl}
\\
P_{cr}\; = {\frac{p^3r^4}{2L^2}} \\
\\
\end{array}\] \[\begin{array}{crl}
\\
y(x) = sin\; \left(\frac{px}{L}\right)\\
\\
\end{array}\] donde [math]P_{cr}[/math] corresponde a la mínima carga crítica de la columna e y(x) a la curva de deflexión correspondiente a dicha carga crítica mínima, conocida también como Carga de Euler.
