CARGA CRÍTICA DE UNA COLUMNA
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | CARGA CRÍTICA DE UNA COLUMNA (Grupo-1) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | |
| Autores |
Javier Marrero Patrón Tejanni El Bannoudi Guanxiong Chen Fernando Díaz-Roncero González |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 INTRODUCCIÓN
En el análisis de la Mecánica Estructural es fundamental el estudio del equilibrio de un sólido. El presente trabajo está orientado a describir cualitativamente y cuantitativamente la inestabilidad elástica. Particularizando en el caso de una pieza homogénea de sección transversal circular sometida a compresión centrada. De esta forma se plantea un acercamiento aproximado a los fenómenos de pandeo (flexión lateral) que producen fallos frágiles en elementos esbeltos. Los aspectos anteriormente mencionados tienen múltiples aplicaciones en el Cálculo de Estructuras, debido a que la aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de estabilidad del elemento produce el colapso.
2 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Para poder hacer un modelo matemático del comportamiento de la columna, se tiene que considerar un pieza ideal, es decir, la rigidez a flexión (EI) tiene que ser constante a lo largo de la columna, y también es indispensable considerar el comportamiento elástico de esta, entre otra características.
Teniendo en cuanta las propiedades del material (E), de la sección (I), y curvatura que sufre la columna al ser sometido a una acción, se define la ecuación de la curva elástica, que nos permite analizar la manera con la que se deforma la pieza.
A continuación se ha estudiado un columna sometido a una carga P constante, de longitud L y suponiendo el comportamiento de la columna como una pieza ideal. En la imagen se puede observar el comportamiento general de la columna al esta sometida a la carga critica.
METER IMAGEN
Para estudiar el comportamiento de la columna, se planteará un problema de contorno Partiendo de la ecuación de la curva elástica aplicada a la columna:
\begin{matrix} y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \end{matrix}
Siendo:
· [math]E[/math]: Módulo de elasticidad ó de Young.
· [math]I(x)[/math]: Momento de inercia de una sección trasversal de la columna respecto al eje "z".
· [math]M(x)[/math]: Momento flector.
En el caso de la columna, el momento flector depende de la deflexión, de manera que: [math]M(x)=-Py(x)[/math].
Por tanto, sustituyendo la fórmula del momento flector en la ecuación inicial: \[\begin{array}{crl}
\\
y(x)=\frac{M(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)=\frac{-Py(x)}{E I(x)} \Longrightarrow y(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\
\\
\end{array}\]
Es necesario determinar las condiciones de contorno para particularizar este problema: [math] \left\{\begin{matrix} y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math] ya que en los extremo de la viga: [math]x=0[/math] y [math]x=L[/math] tiene deflexión cero.
Por tanto, el problema de contorno planteado para resolver el ejercicio sería:
[math] \left\{\begin{matrix} y''(x)+\frac{Py(x)}{E I(x)}=0 \\ y(0)=0 \\ y(L)=0\\ \end{matrix}\right. [/math]
3 Estudio de la estabilidad de la columna
A continuación se va a estudiar la estabilidad de la columna. Se considera que la columna es estable, si la única solución del problema de contorno es la solución trivial ([math]y(x)=0[/math]), esto se va a resolver tanto de forma numérico (haciendo uso de Matlab), y de forma analítica:
Para ello se ha de considerar
