Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (13C)

1 Enunciado

Mallado de una placa rectangular

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] [-1/2,1/2] \times [0,2][/math]. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math]T(x,y,t)[/math], que depende de las dos variables espaciales [math](x,y)[/math] y el tiempo [math]t[/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x,y,t)[/math]. De esta forma, si definimos [math]r_0(x,y)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math](x,y)[/math] de la placa en un instante de tiempo [math]t[/math] viene dada por: [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math] Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda: [math] \vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct), [/math] donde [math]\vec a[/math] se conoce como amplitud, [math]\vec b[/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math]c/|\vec b|[/math] es la velocidad de propagación.

Si [math]\vec a [/math] es paralelo a [math]\vec b[/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente: [math] \vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0. [/math] En este caso, [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i[/math].

2 Introducción. Campos físicos. Teoría de Campos

La Teoría de campos es la rama de la matemática física que estudia la dinámica de los campos físicos. Entendemos por campo físico la aplicación que asocia a cada punto del espacio un tensor. Nos interesaremos únicamente por campos escalares (tensor orden 0) y vectoriales (tensor orden 2).

La influencia de un campo sobre un sólido viene determinada por sus propiedades así como por la naturaleza del propio cuerpo. Un cuerpo elástico es el que, tras haber sido sometido a un estado de tensiones y sufrido una deformación, recupera su estado original.

Partiendo de una placa rectangular plana y dado un vector de posición [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t). [/math]. consideramos dos magnitudes físicas: temperatura T(x; y; t), que depende de las variables espaciales y del tiempo, y desplazamiento u(x; y; t). Estudiaremos una placa rectangular que ocupa la región [-0,5;0,5]x[0; 2] y cuyos puntos vienen dados por el vector de posición r(x; y; t). Sobre el solido actúa un campo de temperatura que no depende del tiempo con un foco de calor situado en el origen. El Campo está definido por la expresión:

[math]T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)[/math] en la cual la variables ro y theta representan las coordenadas polares.

La representación física de la temperatura sobre la placa sería una superficie en tres dimensiones donde los tonos rojizos indican temperaturas más altas y los tonos azules temperaturas más bajas(figura 1). La visualización en dos dimensiones permite ver de forma más clara la dependencia de la temperatura respecto a la distancia al foco (figura 2).

3 Ejercicios

Partiendo de una placa rectangular plana y dado un vector de posición [math] \vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t) [/math] consideramos dos magnitudes físicas aplicadas a ésta: temperatura T(x; y; t), que depende de las variables espaciales y del tiempo, y desplazamiento u(x; y; t). Estudiaremos una placa rectangular que ocupa la región [-0,5;0,5]x[0; 2] y cuyos puntos vienen dados por el vector de posición r(x; y; t). Sobre el solido actúa un campo de temperatura que no depende del tiempo con un foco de calor situado en el origen. El Campo está definido por la expresión [math]T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)[/math] en la cual la variables ro y theta representan las coordenadas polares. La representación física de la temperatura sobre la placa sería una superficie en tres dimensiones donde los tonos rojizos indican temperaturas más altas y los tonos azules temperaturas más bajas (figura 1). La visualización en dos dimensiones permite ver de forma más clara la dependencia de la temperatura respecto a la distancia al foco (figura 2).

figura2

Para poder observar la dirección de máximo cambio sobre la superficie de la temperatura se emplea el operador lineal del gradiente, representado por un campo vectorial superpuesto sobre las curvas de nivel de la superficie. Se observa ortogonalidad de los vectores y las curvas de nivel. Esto se debe a que la manera de recorrer un tramo sobre la superficie se realiza de la forma más corta en dirección ortogonal puesto que representa la mínima distancia entre dos curvas.

Sea [math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i[/math] un campo vectorial que determina el desplazamiento de cada punto del mallado. Al aplicarlo sobre el conjunto representa el cambio de posición de los puntos del sólido (ver figuras 3 y 4). figura3 figura 4 La divergencia de U, definida como [math] \operatorname{div}\ \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\part}{\part x^k} \left(\sqrt{|g|} v^k \right) [/math] , refleja el incremento local de volumen del sólido (ver apartado anterior).El campo U aplica desplazamiento por lo que la superficie delimitada por l malla no varía sino que se desplaza. La divergencia será máxima en los puntos donde (¿?). En nuestra placa resulta nula. figura5 La divergencia de un campo vectorial a través de una superficie será máxima cuando el campo que se le aplique implique un mayor cambio en las dimensiones de la superficie, de este modo será mayor la divergencia aplicando un campo que represente un sistema de fuerzas que un campo que simplemente suponga un movimiento uniforme de la superficie. La divergencia dentro de una superficie será mayor en los puntos en los cuales las derivadas parciales evaluadas en esos puntos sean mayores, lo que implica que el punto se encuentra en un entorno con mayor curvatura. Al aplicar un campo vectorial u que representa un desplazamiento, las partículas del solido se mueven de manera simultánea y de igual modo, lo que implica que solo haya variado la posición de las partículas del solido con respecto al origen, pero no dentro del sólido, por lo que según la definición de divergencia que implica la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen, es cero.

---El rotacional de un campo vectorial representa un giro en torno a un eje. Los puntos que sufren un mayor rotacional serán aquellos en los cuales las derivadas parciales sean máximas ya que el rotacional se halla a partir del producto vectorial de las componentes del campo y los vectores de la base, siendo estas dos fijas. Estudiaremos el valor del modulo del rotacional del campo vectorial del desplazamiento a lo largo de los puntos del sólido. Se puede apreciar que tres ejes de la superficie se mantienen fijos y por ello en éstos el rotacional es cero. Los colores más claros indican una zona en el que el valor del rotacional es mayor (Figura 5). --- Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé(…..). Aplicado a la placa rectangular puesto que tiene una divergencia nula, por lo explicado anteriormente, dependerá solo de Eij siendo esta la parte antisimétrica del tensor gradiente del desplazamiento. Se puede observar analíticamente que las componente de sigma son las mismas que las de E. Aplicamos i*E*i resultando cero pues es la proyección del vector E*i al solo depender de la coordenada j sobre la dirección i es 0. El resultado de aplicar j*E*j también es cero, puesto que el vector E*j solo depende de la componente i por lo que la proyección sobre el eje j es nula. Las tensiones tangenciales….. y vienen definidas por la ecuación [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|[/math] si son respecto al plano ortogonal a ii y por la ecuación [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|[/math]

si son respecto al plano ortogonal a j.

-respecto al plano ortogonal a i: Dado que en nuestro caso [math]|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|[/math] es nulo las tensiones tangenciales quedan de la forma sigma*i originando la siguiente gráfica: Donde podemos observar que son mayores en y=0, y=1, y=2 y menores en y=0,5, y=1,5. Comparando estos resultados con las figuras verdes que representan la deformación de los puntos apreciamos mayor deformación en zonas donde las tensiones tangenciales son menores.

-respecto al plano ortogonal a j: Dado que en nuestro caso [math]|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|[/math] es nulo las tensiones tangenciales quedan de la forma sigma*j originando la siguiente gráfica: Podemos observar que son mayores en y=0, y=1, y=2 y menores en y=0,5, y=1,5. Comparando estos resultados con las figuras verdes que representan la deformación de los puntos, donde apreciamos menores tensiones tangenciales coinciden con puntos con mayor deformación.